第5講聯(lián)想“模型函數(shù)”破解抽象函數(shù)題

1、聯(lián)想“模型函數(shù)”破解抽象函數(shù)題抽象函數(shù)是指沒有給出具體的函數(shù)解析式只給出一些函數(shù)符號及其滿足的條件的函數(shù).由于此類試題既能考查函數(shù)的概念和性質(zhì)又能考查學(xué)生的思維能力所以備受命題者的青睞.因為抽象，學(xué)生解題時思維常常受阻，思路難以展開.然而抽象來源于具體，抽象函數(shù)一般是由具體的函數(shù)抽象而得到的.如抽象函數(shù)f(x)滿足f(xy)=f(x)f(y)，可聯(lián)想到f(x)=kx(k≠0)，有f(x1)=kx1，f(x2)=kx2，f(x1x2)=k

2、(x1x2)=kx1kx2=f(x1)f(x2)，則y=kx就可以作為抽象函數(shù)f(x)滿足f(xy)=f(x)f(y)的一個“模型函數(shù)”.分析抽象函數(shù)問題的解題過程及心理變化規(guī)律可知，由抽象函數(shù)的結(jié)構(gòu)，聯(lián)想到已學(xué)過的具有相同或相似結(jié)構(gòu)的某個“模型函數(shù)”，并由“模型函數(shù)”的相關(guān)結(jié)論，預(yù)測、猜想抽象函數(shù)可能具有的某種性質(zhì)而使問題獲解，是我們解決抽象函數(shù)問題的一般方法.有鑒于此，本文試圖歸納一些中學(xué)階段學(xué)過的常見“模型函數(shù)”，通過聯(lián)想“模型函

3、數(shù)”來破解抽象函數(shù)題.一、中學(xué)階段學(xué)過的常見“模型函數(shù)”抽象函數(shù)模型函數(shù)f(xy)=f(x)f(y)y=kx（k為常數(shù)）f(xy)=f(x)f(y)ay=kxa（ka為常數(shù)）f(xy)=f(x)f(y)y=ax（a＞0且a≠1）f(xy)=f(x)f(y)y=(a＞0且a≠1)xalogf(xy)=f(x)f(y)y=xn（n為常數(shù)）注：記憶方法：如和的函數(shù)等于函數(shù)的積對應(yīng)的模型函數(shù)為指數(shù)函數(shù)，而積的函數(shù)等于函數(shù)的和對應(yīng)的模型函數(shù)為對數(shù)

4、函數(shù)等.二、聯(lián)想“模型函數(shù)”破解抽象函數(shù)題例析【例1】已知函數(shù)f(x)對于任意實數(shù)x、y都有f(xy)=f(x)f(y)，且當(dāng)x＞0時，f(x)＞0，f(1)=2，求函數(shù)f(x)在區(qū)間[2，1]上的值域.聯(lián)想：聯(lián)想：由f(xy)=f(x)f(y)聯(lián)想“模型函數(shù)”y=kx（k為常數(shù)）為奇函數(shù)，k＜0時為減函數(shù)，k＞0時為增函數(shù)，從而猜測：f(x)為奇函數(shù)且f(x)為R上的單調(diào)增函數(shù)，且f(x)在[－21]上有f(x)∈[－42].解析：解

5、析：設(shè)x1＜x2且x1，x2∈R，則x2x1＞0，∴f(x2－x1)＞0，∴f(x2)f(x1)=f(x2x1x1)f(x1)=f(x2x1)f(x1)f(x1)=f(x2x1)＞0，∴f(x2)＞f(x1)∴f(x)為R上的單調(diào)增函數(shù).令x=y=0則f(0)=0令y=x，則f(x)=f(x)，∴f(x)為R上的奇函數(shù).∴f(1)=f(1)=2，∴f(1)=2，f(2)=2f(1)=4，∴4≤f(x)≤2(x∈[21])，故f(x)在[

6、21]上的值域為[4，2]注意：注意：由f(xy)=f(x)f(y)斷定f(x)=kx（k為常數(shù)）是錯誤的，犯了用特殊代替一般的錯誤（解客觀題還是可以）.我們只能借助f(x)=kx（k為常數(shù)）來猜測f(x)的性質(zhì)，為解題指明方向，至于f(x)的性質(zhì)的得出，我們還是要由相關(guān)定義來嚴(yán)格證明，決不能含含糊糊.【例2】函數(shù)對任意、R，都有，并且當(dāng)時，)(xfa?b1)()()(????bfafbaf0?x.（1）求證：是R上的增函數(shù)；1)(?x

7、f)(xf（2）若，解不等式.5)4(?f3)23(2???mmf得，即，∴，)()()(1212xxfxfxf???1)()(012??xfxf)()(12xfxf?∴在R上單調(diào)遞減.)(xf（3）解）解：由，)1()()(22fyfxf???)1()(22fyxf??又由（2）知為R上的遞減，∴點集表示圓的內(nèi)部.)(xf122??yx?A122??yx由得點集表示直線.1)2(???yaxf02???yax?B02???yax∵，∴

8、直線與圓相離或相切.??BA?02???yax122??yx于是.1122??a?33???a【例5】已知函數(shù)f(x)定義域為(0∞)且單調(diào)遞增，滿足f(4)=1，f(xy)=f(x)f(y)（1）證明f(1)=0；（2）求f(16)；（3）若f(x)f(x3)≤1，求x的范圍；（4）試證f(xn)=nf(x)（n∈N）.聯(lián)想：聯(lián)想：由f(xy)=f(x)f(y)聯(lián)想“模型函數(shù)”y=（a＞0，a≠0）從而猜測：xalogf(x)有f(1

9、)=0，f(16)=2，……解析：解析：（1）令x=1，y=4，則f(4)=f(14)=f(1)f(4)，∴f(1)=0；（2）f(16)=f(44)=f(4)f(4)=2，（3）f(x)f(x3)=f[x(x3)]≤1=f(4)，f(x)在（0，∞）上單調(diào)遞增∴x(x3)≤4∴1≤x≤4x3＞0x＞3，即3＜x≤4，∴x∈（3，4]x＞0（4）∵f(xy)=f(x)f(y)，∴f(xn)=f(xx……x)=nf(x)（n∈N）n個x【

10、例6】已知函數(shù)f(x)對于一切正實數(shù)x、y都有f(xy)=f(x)f(y)且x＞1時，f(x)＜1，f(2)=.（1）求證：f(x)＞0；（2）求證：f(x1)=[f(x)]1；91（3）求證：f(x)在（0，∞）上為單調(diào)減函數(shù)；（4）若f(m)=9，試求m的值.聯(lián)想：聯(lián)想：由f(xy)=f(x)f(y)聯(lián)想“模型函數(shù)”y=xa，從而猜測：f(x)＞0，在（0，∞）上為單調(diào)減函數(shù)，……解析：解析：（1）對任意x＞0，f(x)=f()=[

11、f()]2≥0，xxx假設(shè)存在y＞0，使f(y)=0，則對任意x＞0，有f(x)=f(y)=f()f(y)=0，yxyx這與已知矛盾，故對任意x＞0，均有f(x)＞0；（2）∵f(x)=f(x1)=f(x)f(1)，f(x)＞0∴f(1)=1，∴f(x)f()=f(x)=f(1)=1，∴f(x1)=[f(x)]1；x1x1（3）設(shè)x1、x2∈(0∞)，且x1＜x2，則＞1，∴f()＜1，12xx12xx∴f(x2)=f(x1)=f()f