抽象函數(shù)常見(jiàn)題型解法[1]

1、高考專項(xiàng)復(fù)習(xí)抽象函數(shù)常見(jiàn)題型及解法整理：吳小軍第1頁(yè)共15頁(yè)抽象函數(shù)常見(jiàn)題型解法抽象函數(shù)常見(jiàn)題型解法抽象函數(shù)是指沒(méi)有給出函數(shù)的具體解析式，只給出了一些體現(xiàn)函數(shù)特征的式子的一類函數(shù)。由于抽象函數(shù)表現(xiàn)形式的抽象性，使得這類問(wèn)題成為函數(shù)內(nèi)容的難點(diǎn)之一.抽象性較強(qiáng)，靈活性大解抽象函數(shù)重要的一點(diǎn)要抓住函數(shù)中的某些性質(zhì)，通過(guò)局部性質(zhì)或圖象的局部特征，利用常規(guī)數(shù)學(xué)思想方法（如化歸法、數(shù)形結(jié)合法等），這樣就能突破“抽象”帶來(lái)的困難，做到胸有成竹.另外還

2、要通過(guò)對(duì)題目的特征進(jìn)行觀察、分析、類比和聯(lián)想，尋找具體的函數(shù)模型函數(shù)模型，再由具體函數(shù)模型的圖象和性質(zhì)來(lái)指導(dǎo)我們解決抽象函數(shù)問(wèn)題的方法。常見(jiàn)的特殊模型:特殊模型抽象函數(shù)正比例函數(shù)f(x)=kx(k≠0)f(xy)=f(x)f(y)冪函數(shù)f(x)=xnf(xy)=f(x)f(y)[或])y(f)x(f)yx(f?指數(shù)函數(shù)f(x)=ax(a0且a≠1)f(xy)=f(x)f(y)[)y(f)x(f)yx(f??或?qū)?shù)函數(shù)f(x)=logax

3、(a0且a≠1)f(xy)=f(x)f(y)[)]y(f)x(f)yx(f??或正、余弦函數(shù)f(x)=sinxf(x)=cosxf(xT)=f(x)正切函數(shù)f(x)=tanx)y(f)x(f1)y(f)x(f)yx(f????余切函數(shù)f(x)=cotx)y(f)x(f)y(f)x(f1)yx(f????目錄：一.定義域問(wèn)題二、求值問(wèn)題三、值域問(wèn)題四、解析式問(wèn)題五、單調(diào)性問(wèn)題六、奇偶性問(wèn)題七、周期性與對(duì)稱性問(wèn)題八、綜合問(wèn)題一.定義域問(wèn)題定

4、義域問(wèn)題多為簡(jiǎn)單函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的定義域互求。例1.若函數(shù)y=f（x）的定義域是[－2，2]，則函數(shù)y=f（x1）f（x－1）的定義域?yàn)?1???x。解：f(x)的定義域是，意思是凡被f作用的對(duì)象都在中。??22???22?評(píng)析：已知評(píng)析：已知f(x)f(x)的定義域是的定義域是A，求，求的定義域問(wèn)題，相當(dāng)于解內(nèi)函數(shù)的定義域問(wèn)題，相當(dāng)于解內(nèi)函數(shù)的不等式問(wèn)題。的不等式問(wèn)題。????xf???x?練習(xí)：已知函數(shù)f(x)的定義域是，求函數(shù)的定義

5、域。??21????????????xf3log21例2：已知函數(shù)的定義域?yàn)閇3，11]，求函數(shù)f(x)的定義域。??xf3log??11log13高考專項(xiàng)復(fù)習(xí)抽象函數(shù)常見(jiàn)題型及解法整理：吳小軍第3頁(yè)共15頁(yè)71)71(7)1(3)73(2)72()72(21)2720()71()71()2(21)]1([)1()24341()21()1()43()41()21()1(522?????????????????????????bfbfbf

6、bffffbfaaaaaaaffaaafafaf??同理則設(shè)可解得又、5、定義在R上的函數(shù)Y=f(x)有反函數(shù)Y=f1(x)，又Y=f(x)過(guò)點(diǎn)（2，1），Y=f(2x)的反函數(shù)為Y=f1(2x)，則Y=f1(16)為（）（A）A）B）C）8D）1618116的值求的值求均有對(duì)所有上的函數(shù)，滿足，是定義在為實(shí)數(shù)，且、已知)71()2()1()()()1()2(1)1(0)0(]10[)(106fayafxfayxfyxffxfaa???

7、??????三、值域問(wèn)題例4.設(shè)函數(shù)f(x)定義于實(shí)數(shù)集上，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x、y，f(xy)=f(x)f(y)總成立，且存在使21xx?得，求函數(shù)f(x)的值域。)()(21xfxf?解：令x=y=0，有f(0)=0或f(0)=1。若f(0)=0，則f(x)=f(0x)=f(x)f(0)=0恒成立，這與存在實(shí)數(shù)，使得成立矛盾，故f(0)≠0，必有f(0)=1。21xx?)()(21xfxf?由于f(xy)=f(x)f(y)對(duì)任意實(shí)數(shù)x、y

8、均成立，因此，又因?yàn)槿鬴(x)=0則0)2()(2????????xfxff(0)=f(xx)=f(x)f(x)=0與f(0)≠0矛盾所以f(x)0.四、解析式問(wèn)題（換元法，解方程組，待定系數(shù)法，遞推法，區(qū)間轉(zhuǎn)移法，例5.已知f(1sinx)=2sinxcos2x求f(x)解:令u=1sinx則sinx=u1(0≤u≤2)則f(u)=u23u1(0≤u≤2)故f(x)=x23x1(0≤u≤2)小結(jié)：換元法包括顯性換元法和隱性換元法，它是

9、解答抽象函數(shù)問(wèn)題的基本方法.例6、設(shè)對(duì)滿足x≠0x≠1的所有實(shí)數(shù)x，函數(shù)f(x)滿足求f(x)的解析式。??xxxfxf??????????11解:（2）(1)1)x0(xx1)x1x(f)x(f??????且?12)11()1(:x1xxxxfxxfx?????得代換用（3）:)1(x11得中的代換再以x.12)()x11f(xxxf????1)x0(xx2x21xx)x(f:2)2()3()1(223????????且得由小結(jié)：通過(guò)

10、解方程組的方法可求表達(dá)式。怎樣實(shí)現(xiàn)由兩個(gè)變量向一個(gè)變量的轉(zhuǎn)化由兩個(gè)變量向一個(gè)變量的轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵。通常，給某些變量適當(dāng)賦值，使之在關(guān)系中“消失”，進(jìn)而保留一個(gè)變量，是實(shí)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化的重要策略。例7.已知f(x)是多項(xiàng)式函數(shù)，且f(x1)f(x1)=2x24x求f(x).解:易知f(x)是二次多項(xiàng)式，設(shè)f(x)=ax2bxc(a≠0)，代入比較系數(shù)得:a=1b=2c=1f(x)=x22x1.小結(jié)：如果抽象函數(shù)的類型是確定的，則可用待定系數(shù)法