抽象函數(shù)解題方法與技巧

1、1抽象函數(shù)解題方法與技巧抽象函數(shù)解題方法與技巧函數(shù)的周期性：函數(shù)的周期性：1、定義在x∈R上的函數(shù)y=f(x)，滿足f(xa)=f(xa)（或f(x2a)=f(x)）(a0)恒成立，則y=f(x)是周期為2a的周期函數(shù)；2、若y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=a和x=b對(duì)稱，則函數(shù)y=f(x)是周期為2|ab|的周期函數(shù)；3、若y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(a0)和(b0)對(duì)稱，則函數(shù)y=f(x)是周期為2|ab|的周期函數(shù)；4、若y=f(x)

2、的圖像有一個(gè)對(duì)稱中心A(a0)和一條對(duì)稱軸x=b（a≠b），則函數(shù)y=f(x)是周期為4|ab|的周期函數(shù)；5、若函數(shù)y=f(x)滿足f(ax)=f(ax)，其中a0，且如果y=f(x)為奇函數(shù)，則其周期為4a；如果y=f(x)為偶函數(shù)，則其周期為2a；6、定義在x∈R上的函數(shù)y=f(x)，滿足f(xa)=f(x)，則y=f(x)是??1()fxafx????????或??1()fxafx?????????或周期為2|a|的周期函數(shù)；7

3、、若在x∈R恒成立，其中a0，則y=f(x)是周期為4a的周期函數(shù)；??????11fxfxafx????8、若在x∈R恒成立，其中a0，則y=f(x)是周期為2a的周期函數(shù)。??????11fxfxafx????（7、8應(yīng)掌握具體推導(dǎo)方法，如7）函數(shù)圖像的對(duì)稱性：函數(shù)圖像的對(duì)稱性：1、若函數(shù)y=f(x)滿足f(ax)=f(bx)，則函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱；2abx??2、若函數(shù)y=f(x)滿足f(x)=f(2ax)或f(x

4、a)=f(ax)，則函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱；3、若函數(shù)y=f(x)滿足f(ax)f(bx)=c，則y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形；22abc???????4、曲線f(xy)=0關(guān)于點(diǎn)(ab)的對(duì)稱曲線的方程為f(2ax2by)=0；??????????????1111212112()()11fxfxafxfxafxfxafxfxfx?????????????????3例5已知f(x)是定義在R上的不恒為零的函數(shù)

5、，且對(duì)于任意的實(shí)數(shù)ab都滿足f(ab)=af(b)bf(a).(1)求f(0)，f(1)的值；(2)判斷f(x)的奇偶性并證明你的結(jié)論五、轉(zhuǎn)化法五、轉(zhuǎn)化法通過(guò)變量代換等數(shù)學(xué)手段將抽象函數(shù)具有的性質(zhì)與函數(shù)的單調(diào)性等定義式建立聯(lián)系，為問(wèn)題的解決帶來(lái)極大的方便.例6設(shè)函數(shù)f(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)xy，都有f(xy)=f(x)f(y)若x0時(shí)f(x)0且f(1)=2求f(x)在[3，3]上的最大值和最小值。例7定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：①對(duì)任意實(shí)