第3章 應變狀態(tài)分析

1、1第三章第三章應變狀態(tài)分析應變狀態(tài)分析知識點知識點位移與變形正應變純變形位移與剛性轉動位移應變分量坐標轉軸公式主應變齊次方程組體積應變變形協(xié)調方程變形協(xié)調方程證明變形與應變分量切應變幾何方程與應變張量位移增量的分解應變張量應變狀態(tài)特征方程變形協(xié)調的物理意義變形協(xié)調方程的數(shù)學意義多連域的變形協(xié)調一、內容介紹一、內容介紹本章討論彈性體的變形，物體的變形是通過應變分量確定的。因此，首先確定位移與應變分量的基本關系－幾何方程。由于應變分量和剛體

2、轉動都是通過位移導數(shù)表達的，因此必須確定剛體轉動位移與純變形位移的關系，才能完全確定一點的變形。對于一點的應變分量，在不同坐標系中是不同的。因此，應變狀態(tài)分析主要是討論不同坐標軸的應變分量變化關系。這個關系就是應變分量的轉軸公式；根據(jù)轉軸公式，可以確定一點的主應變和應變主軸等。當然，由于應變分量滿足二階張量變化規(guī)律，因此具體求解可以參考應力狀態(tài)分析。應該注意的問題是變形協(xié)調條件，就是位移的單值連續(xù)性質。假如位移函數(shù)不是基本未知量，由于彈

3、性力學是從微分單元體入手討論的，因此變形后的微分單元體也必須滿足連續(xù)性條件。這在數(shù)學上，就是應變分量必須滿足變形協(xié)調方程。在彈性體的位移邊界，則必須滿足位移邊界條件。二、重點二、重點1、應變狀態(tài)的定義：正應變與切應變；應變分量與應變張量；2、幾何方程與剛體轉動；3、應變狀態(tài)分析和應變分量轉軸公式；4、應變狀態(tài)特征方程和應變不變量；主應變與應變主軸；5、變形協(xié)調方程與位移邊界條件。3是連續(xù)的如圖所示。在數(shù)學上，x，y，z必為x，y，z的單

4、值連續(xù)函數(shù)。設MM=S為位移矢量，其三個分量u，v，w為位移分量。則u=x（x，y，z）x=u（x，y，z），v=y（x，y，z）y=v（x，y，z）w=z（x，y，z）z=w（x，y，z）顯然，位移分量u，v，w也是x，y，z的單值連續(xù)函數(shù)。以后的分析將進一步假定位移函數(shù)具有三階連續(xù)導數(shù)。2、變形與應、變形與應變分量分量為進一步研究彈性體的變形情況，假設從彈性體中分割出一個微分六面體單元，其六個面分別與三個坐標軸垂直。對于微分單元體的