第八章 矢量算法與場(chǎng)論初步張量算法與黎曼幾何初步 section1

1、八八八矢量算法與矢量算法與場(chǎng)論場(chǎng)論初步初步張量算法與黎曼幾何初步算法與黎曼幾何初步本章包括兩個(gè)部分.第一部分是矢量代數(shù)、矢量分析及其在場(chǎng)論中的應(yīng)用.主要內(nèi)容有：矢量的概念、矢量的算法與矢量的坐標(biāo)表示；以矢量作為工具介紹了場(chǎng)論中的一些基本內(nèi)容.例如梯度、散度與旋度等基本概念及其計(jì)算公式和性質(zhì)，以及它們?cè)诓煌鴺?biāo)系中的表達(dá)式；敘述了矢量的積分定理(高斯公式、斯托克斯公式和格林公式)；引進(jìn)了仿射坐標(biāo)系，闡述了三維空間中的協(xié)變矢量和逆變矢量，同

2、時(shí)把這些概念推廣到n維空間中去.第二部分是張量代數(shù)、張量分析及其在黎曼幾何中的應(yīng)用.介紹了張量的概念和一些張量算法，然后以張量作為工具來闡述仿射聯(lián)絡(luò)空間的基本內(nèi)容.例如，仿射聯(lián)絡(luò)、矢量和張量的平行移動(dòng)，及協(xié)變微分法與自平行曲線等；并在n維空間中引進(jìn)度量的概念，來定義黎曼空間，從而由具有特殊條件的仿射聯(lián)絡(luò)引出了黎曼聯(lián)絡(luò)，于是有關(guān)仿射聯(lián)絡(luò)空間中的一些性質(zhì)可以搬到黎曼空間中來.可是，因?yàn)槔杪臻g是由度量定義的，所以與度量有關(guān)的一些性質(zhì)在仿射聯(lián)

3、絡(luò)空間中是沒有的.1矢量算法矢量算法、、矢量代數(shù)［矢量概念］只有大小的量稱為標(biāo)量(也稱為數(shù)量或純量).例如溫度、時(shí)間、質(zhì)量、面積、能量等都是標(biāo)量.具有大小和方向的量稱為矢量(也稱為向量).例如力、速度、力矩、加速度、角速度、動(dòng)量等都是矢量在幾何中的有向線段就是一個(gè)直觀的矢量.通常用空間中的有向線段AB來表示矢量.用長(zhǎng)度表示大小，用端點(diǎn)的順序AB表示方向.A稱為始點(diǎn)，B稱為終點(diǎn)，這個(gè)矢量記作AB?，或用黑正體字母a表示.矢量的大小(或長(zhǎng)度

4、)的數(shù)值稱為它的?；蚪^對(duì)值，用記號(hào)或AB?AB?|a|表示.矢量按其效能可分成三種基本類型：具有大小和方向而無特定位置的矢量稱為自由矢量.例如力偶.沿直線作用的矢量稱為滑動(dòng)矢量.例如作用于剛體的力.作用于一點(diǎn)的矢量稱為束縛矢量.例如電場(chǎng)強(qiáng)度.在這里所討論的矢量，除特別說明外，都指自由矢量，就是說，所有方向相同，長(zhǎng)度相等的矢量，不管始點(diǎn)如何，都看作相同的矢量.加法運(yùn)算適合如下規(guī)律：(交換律)abba???(結(jié)合律)cbacba?????)

5、()(a＋０＝０＋a＝a，a＋(－a)＝０［減法］若a＝(axayaz)，b＝(bxbybz)，則a－b＝(ax－bx，ay－by，az－bz)把矢量b的負(fù)矢量與矢量a相加，得矢量a－b(圖8.4).對(duì)任意兩個(gè)矢量a和b成立三角形不等式：|a＋b||a|＋|b|?［數(shù)乘］以實(shí)數(shù)乘矢量a稱為數(shù)乘，記作a.當(dāng)０時(shí)，???a的模伸縮倍，方向保持不變；當(dāng)０時(shí)，a的模伸縮||倍，而方向與a相反(圖8.5)，如果???a=(axayaz)則a＝(a

6、xayaz)????設(shè)，為兩實(shí)數(shù)，a，b為兩矢量，則數(shù)乘運(yùn)算適合??下列規(guī)律：(a)＝()a(結(jié)合律)????(＋)a＝a＋a(分配律)????(a＋b)＝a＋b(分配律)???［矢量的分解］1設(shè)a，b，c為三個(gè)共面的矢量，而b和c為非共線矢量，?如果把它們移到公共始點(diǎn)Ｏ，由矢量c的終點(diǎn)C作兩條平行于a，b的直線，各交a，b(或延長(zhǎng)線)于Ｍ，Ｎ(圖８.6)，則c＝=a＋bOM?ON???這稱為矢量c對(duì)a，b的分解.2設(shè)a，b，c為非共面

7、矢量，而d為任一矢量，把?它們移到公共始點(diǎn)Ｏ，由矢量d的終點(diǎn)D作三個(gè)平面分別平行于(b，c)平面，(c，a)平面和(a，b)平面，且與a，b，c(或延長(zhǎng)線)分別交于Ｌ，Ｍ，Ｎ(圖8.7)，則d＝＝a＋b＋OL?OM?ON???c?稱為矢量d對(duì)a，b，c的分解.3如果兩個(gè)非零矢量a與b有線性關(guān)系?a＋b＝０??式中不全為0，則稱這兩個(gè)矢量共線(即??ab)；反之也真.稱這兩個(gè)矢量a，b為線性相關(guān).4設(shè)ab為兩個(gè)非零矢量，若a＋b＝０，則有

8、＝０，＝０，這時(shí)稱a，b為線性?????無關(guān).5若三個(gè)非零矢量a，b，c有線性關(guān)系a＋b＋＝０，式中，，不全為零，???c????則這三個(gè)矢量共面，反之也真.這時(shí)，稱a，b，c為線性相關(guān).如果a，b，c為三個(gè)非零矢量，而a＋b＋＝０，則有＝＝＝０，這時(shí)稱a，b，c為線性無關(guān).??c????6四個(gè)(或四個(gè)以上)矢量a，b，c，d必有線性關(guān)系；就是說它們一定線性相關(guān).這時(shí)，?必有不全為０的四個(gè)數(shù)，，，，成立a＋b＋＋d＝０.??????c?