精簡易下載版 數(shù)學解題學引論[1]

1、11數(shù)學解題學引論數(shù)學解題學引論第四講第四講解題資料的初步整理解題資料的初步整理涉及數(shù)學解題或解題方法的文章、書藉是研究解題的原始素材.這方面的資料浩如煙海，每年有大批書藉出版，每期中學數(shù)學雜志都以大量版面刊登題解或解題.我們粗略地將這些資料分成6類.1理論性的方法研究………………..這類著作主要是從方法論的高度研究和討論數(shù)學的發(fā)展規(guī)律、數(shù)學的思想方法以及數(shù)學中的發(fā)現(xiàn)、發(fā)明與創(chuàng)新法則.通常理論性較強、層次也較高（當然這一類資料本身也是有

2、層次的）.2教學性的解題總結(jié)…………………這類著作多從教育學、心理學或思維科學等角度，對解題進行分析研究與系統(tǒng)總結(jié)，常帶有提高解題教學理論水平，并通過解題培養(yǎng)能力、發(fā)展思維的教育動機.這類資料多體現(xiàn)在教材教法課程中解題教學部分，或以培養(yǎng)能力、發(fā)展思維為主題的解題書刊中.3規(guī)律性的解題探索..這類著作從數(shù)學具體解題方法、具體解題技巧中提煉出方法論的價值，勇敢探索“怎樣想到這個解法”、“是什么促使你這樣想、這樣做？”的規(guī)律，努力摸清人們發(fā)現(xiàn)

3、解法、找到思路的秘密，最杰出的代表是波利亞的世界名著.4技巧性的解題指導………..這類書刊主要是結(jié)合題目介紹解題的具體方法與具體技巧.5競賽數(shù)學的原始積累…………主要指競賽題的解法研究和輔導講座.自1986年中國數(shù)學會普及工作委員會第四屆年會（西安會議）之后，這方面的資料如雨后春筍，有識之士已經(jīng)指出，這些資料的長期積累，將誕生一門獨具特色的數(shù)學——競賽數(shù)學（又稱奧林匹克數(shù)學）.6資料性的習題類編…………這方面的書藉、文章不計其數(shù)，大多只

4、是現(xiàn)成的例子和現(xiàn)成的觀點（個別的甚至沒有任何觀點）.有的是解題集、有的是習題集、有的是專門為升學服務的復習資料.在復習資料中，有一部分是以高考為素材的解題研究，這是具有中國特色的高考文化的重要組成部分，其中不乏珍品；而另有一部分，則體現(xiàn)了解題教學新八股、并為題海戰(zhàn)術(shù)和應試教育推波助瀾.解題基本功解題基本功解題的成功取決多種因素，其中最基本的有：解題的知識因素，解題的能力因素，解題的經(jīng)驗因素和解題的非智力因素，我們統(tǒng)稱為解題基本功.一、知

5、識結(jié)構(gòu)一、知識結(jié)構(gòu)人的思維依賴于必要的知識和經(jīng)驗，數(shù)學知識正是數(shù)學解題思維活動的出發(fā)點與憑借.豐富的知識并加以優(yōu)化的結(jié)構(gòu)能為題意的本質(zhì)理解與思路的迅速尋找創(chuàng)造成功的條件.解題研究的一代宗師波利亞說過：“貨源充足和組織良好的知識倉庫是一個解題者的重要資本.”每一個希望提高解題效率的人，都必須下決心，花大力氣去做到下述3個基本要求：1熟練掌握數(shù)學基礎知識的體系.對于中學數(shù)學解題來說，應如數(shù)家珍說出教材的概念系統(tǒng)、定理系統(tǒng)、符號系統(tǒng).還應掌握

6、中學數(shù)學競賽涉及的基礎理論.2深刻理解數(shù)學概念、準確掌握數(shù)學定理、公式和法則.3熟悉基本的邏輯規(guī)則和常用的解題方法，積累不斷涌現(xiàn)的數(shù)學技巧.例4如圖所示，在△ABC的兩邊AB和AC上向外作正方形ABEF和ACGH，則邊BC上的高AD平分線段FH.講解講解這是一道傳統(tǒng)題，有不下10余種解法，如果我們站的觀點較高，立即看到面積相等：.AFHABCSAabS????sin21從而△ABC與△AFH部分相等.又由于要證FK=KH，若此式成立，必

7、有.AKHAKFSS???由此，誘發(fā)我們?nèi)タ紤]，把△ABC分成兩個等積的三角形，分別與△AKF，△AKH全等.因而作AM交BC于M，使∠BAM=∠AFK，從而∠MAC=∠BAC∠BAM=(180∠FAH)∠AFK=∠AHF………于是△AFK≌△BAM，（SAS）△AHK≌△CAM，（SAS）得FK=AM=HK.命題得證.為了證明FK=HK，通過輔助線AM來過渡，這個思路是比較隱蔽的，不熟悉“面積相等必剖分相等”的中學生，要找到這個思路必

8、多費周折，這說明，知識對解題的指導作用.例5有甲、乙丙三種貨物，若購甲3件、乙7件、丙1件，共需3.15元；若購甲4件、乙10件、丙1件，共需4.20元；現(xiàn)在購甲、乙、丙各一件共需幾元？[1985年全國初中數(shù)學聯(lián)賽]講解講解設甲、乙、丙的單價分別為x元、y元、z元，依題意有?????????①.20.4104①15.373zyx，zyx對于中學生，這是一道非常規(guī)的方程問題，需要有較強的觀察、分析和變形能力.可以有兩種途徑將其轉(zhuǎn)化為常規(guī)二

9、元方程組的求解.途徑途徑1將原方程變形為于是，(xyz)的求值轉(zhuǎn)化為消去(x3y).?????????????.20.4)()3(315.3)()3(2zyxyxzyxyx33水平二水平二把問題（1）看作求m的應用題，為了解這個應用題我們來列方程，為了尋找方程的等量關系，才用到一元二次方程的判別式等于零.（1）等量關系：△(m)=0；（2）方程：4m24(m2)=0；（3）解方程：m1=1，m2=2.把問題（2）看作是函數(shù)的最值問題，為

10、了求函數(shù)的最值，需要尋找函數(shù)關系和定義域，為了找函數(shù)表達式用到了韋達定理（并非必要），為了找函數(shù)的定義域，用到了方程的判別式非負.（1）找m的函數(shù)式：f(m)==(x1x2)22x1x2=4m22m4；2221xx?（2）找函數(shù)的定義域：由△=4(m2m2)≥0，得m∈????.21??????（3）找最小值.當m≤1時，f(m)是減函數(shù)，有f(m)≥f(1)=4(1)22(1)4=2當m≥2時，f(m)是增函數(shù)，有f(m)≥f(2)=

11、422224=8.由于f(1)f(2)故當m=1時，函數(shù)有最小值f(1)=2.對比這兩種思維水平，所用到的知識是相同的，結(jié)論也都正確.但水平一仍然停留在感性概括的階段上，而水平二則抽象到較為恰當?shù)某潭龋捎谒蕉堰@兩個具體的問題納入到中學階段最重要的知識體系上：方程與函數(shù)，運用這兩項知識去解決問題，既如魚得水，又勢如破竹.隨著學習內(nèi)容的增多，學習難度的增大，兩種思維水平的差距將明顯拉開.例8在復平面上，一個正方形的四個頂點按照逆時針方

12、向依次為Z1，Z2，Z3，O（其中O是原點），已知Z2對應復數(shù)z2=1i求Z1和Z2對應的復數(shù).[1995年數(shù)學高考理科題年數(shù)學高考理科題]講解講解有兩種思維水平的處理.3水平一水平一如圖由復數(shù)乘法的幾何意義有2312312222)31(214sin4cos21z2132132222)31(214sin4cos212221iiiiziiiizz???????????????????????????????????????????????

13、?????????????????水平二水平二由復數(shù)運算的幾何意義，有z3z1=z2=1iz3z1=z2i=i加減消元得z1=z3=33i213231???前一解法表現(xiàn)為具體解題的一招一式（數(shù)值計算），對于其他問題（特別是非復數(shù)問題）幾乎沒有任何啟示.i213231???后一解法則體現(xiàn)了方程觀點（上升為代數(shù)觀點）為了求兩個未知數(shù)，我們來建立兩個方程（一般性解決），為是建立方程，我們用到了復數(shù)運算的幾何意義（功能性解決）.這種解題思考有普