數(shù)學(xué)金融學(xué)第九章未定權(quán)益的定價(jià)理論1

1、長(zhǎng)沙理工大學(xué)備課紙長(zhǎng)沙理工大學(xué)備課紙數(shù)學(xué)金融學(xué)第九章未定權(quán)益的定價(jià)理論第1頁(yè)共28頁(yè)第九章未定權(quán)益的定價(jià)理論對(duì)于未定權(quán)益我們已經(jīng)不陌生了.在第457和8章中分別討論過一些情形.本章中我們將建立連續(xù)時(shí)間市場(chǎng)中的未定權(quán)益定價(jià)理論.9.1歐式未定權(quán)益定價(jià)問題在第8章第4節(jié)中我們出于引入市場(chǎng)(廣義或者內(nèi)蘊(yùn))完備性定義的需要提到了歐式未定權(quán)益的可復(fù)制性.在這里我們將專門討論歐式未定權(quán)益的可復(fù)制性以及可定價(jià)性.為了避免敘述的繁瑣和可能的喧賓奪主假定

2、市場(chǎng)是無磨擦的.我們將在[0T]上的市場(chǎng)重寫于下:M()r?b(1.1)0010()()()[0]()()()()()[0]1(0)1(0)1.diiiijjjiidPtPtrtdttTdPtPtbtdttdwttTinPPpin???????????????????????????假定條件成立對(duì)于初始財(cái)富及證券組合過程財(cái)富過程滿足下述方程：(M1)y()[]tT????(1.2)??()()()()()()1()()()[0](0)d

3、YtYtrtttrtdtssdstTYy??????????????bw?一、問題一、問題現(xiàn)在考慮上的歐式未定權(quán)益即持有都到到期時(shí)刻能夠獲得收益??0T2()TR???FLT的一個(gè)未定權(quán)益.我們的問題可以敘述如下:?問題問題1.11.1尋找和使使得yR?()[]tT????(1.3)(())YTy??A?如果滿足上述(1.3)的和存在則稱在上是可復(fù)制的可復(fù)制的稱是在yR?()[]tT???????0T()???上的一個(gè)復(fù)制策略復(fù)制策略稱

4、為在時(shí)刻0的一個(gè)準(zhǔn)價(jià)格準(zhǔn)價(jià)格.當(dāng)可復(fù)制且準(zhǔn)價(jià)格惟一時(shí)（這??0Ty??y里不要求的惟一性）稱在上是可定價(jià)的可定價(jià)的并稱為在時(shí)刻0的一個(gè)價(jià)格價(jià)格.()?????0Ty易見問題1.1等價(jià)于求解下述倒向隨機(jī)微分方程：(1.4)??()()()()()()1()()()[0]().dYtYtrtttrtdtttdttTYT???????????????bw?此時(shí)我們也稱為未定權(quán)益的價(jià)格過程.()YA?由上面的定義可見在上可復(fù)制的(歐式)未定權(quán)益

5、似乎未必是在上可定價(jià)的.我??0T??0T們回憶:在單時(shí)段市場(chǎng)情形存在可復(fù)制的但不可定價(jià)的未定權(quán)益而當(dāng)市場(chǎng)成立單一價(jià)格定律時(shí)(特別的，當(dāng)市場(chǎng)無套利時(shí))可復(fù)制的未定權(quán)益必是可定價(jià)的.對(duì)于連續(xù)時(shí)間市場(chǎng)情形我們也容易構(gòu)造在上可復(fù)制的但不可定價(jià)的未定權(quán)益.事實(shí)上對(duì)于比較極端的情形(1.2)??0T()0???變成一個(gè)常微分方程.此時(shí)我們很容易構(gòu)造在上可復(fù)制的但不可定價(jià)的未定權(quán)益對(duì)于??0T人們也可以造出這樣的例子.我們把細(xì)節(jié)留給了讀者.()0?

6、??我們注意到問題1.1考慮的是上是歐式未定權(quán)益.類似地對(duì)任何我們可以??0T??0tT?長(zhǎng)沙理工大學(xué)備課紙長(zhǎng)沙理工大學(xué)備課紙數(shù)學(xué)金融學(xué)第九章未定權(quán)益的定價(jià)理論第3頁(yè)共28頁(yè)()()()()[0]TTtYtttdttT??????????w?又由第八章(1.0.7)知()()()|00TTtptEttdttT??????????????w?F故??????00()()|||0tTrdrdtttpppYteYtEYtEEetT??????

7、??????????????????????????????FFF所以.▲??()|0TtrdtpYtEetT???????????????F上面的定理給出了在條件和(1.6)上任何歐式未定權(quán)益的可定價(jià)性。表達(dá)式(1.10)稱作(M1)(現(xiàn)行框架下的)的未定權(quán)益的風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原則(比較第5章和第7章中的離散時(shí)間情形)上面證明定理1.2的方法稱為倒向隨機(jī)微分方程方法也稱鞅方法.我們不難注意到上面定理1.2本質(zhì)上僅僅給出了未定權(quán)益的可定價(jià)性

8、公式(1.10)其實(shí)不是太好用因?yàn)闂l件數(shù)學(xué)期望的計(jì)算并不容易因此定理1.2在使用時(shí)不太方便.下面我們將探求未定權(quán)益的更容易計(jì)算的公式.為此我們進(jìn)一步假定(M2)成立(即市場(chǎng)的系數(shù)均是確M()r?b定性的)并且未定權(quán)益具有形式其中為一個(gè)連續(xù)子函數(shù)最典型的例子(())gPT??:ngRR?是1n?(1.16)??()()max0gppqpq?????和(1.17)()()gpqp???它們分別對(duì)應(yīng)于歐式看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)。三、運(yùn)用三、運(yùn)

9、用公式進(jìn)行的歐式未定權(quán)益的定價(jià)方程公式進(jìn)行的歐式未定權(quán)益的定價(jià)方程BlackScholes方程方程Ito現(xiàn)在，我們來尋找形如歐式未定權(quán)益的定價(jià)公式各復(fù)制策略過程.由上面的定(())gT??P理1.2在(M1)和(1.6)滿足時(shí)下述倒向隨機(jī)微分方程存在惟一的適應(yīng)解:??()()Y???(1.18)????()()()()()()()[0]().dYtYtrtttdttdttTYTgT??????????????ZZwP?假定存在一個(gè)光滑的

10、待定函數(shù)使得???AA(1.19)??()(())0YttttT???P則對(duì)(1.19)運(yùn)用公式由(1.1)可得Ito????()()()()()1()()()()(()YtrtttrtdtttdtdYtdtt???????bwP?????????(1.1)(3.13)111()()()()()()()()()2iijnntPiiihhjijPPiijhttttPtbtttPtPtttdt??????????????????附錄PPP(