第十章波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾解

1、第十章第十章波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾解波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾解(9)一、內(nèi)容摘要1行波法達(dá)朗貝爾公式行波法達(dá)朗貝爾公式行波法是以自變量的線性組合作變量代換，對(duì)方程進(jìn)行求解的一種方法，它對(duì)波動(dòng)方程類型的問(wèn)題求解十分有。一維無(wú)界弦自由振動(dòng)（即無(wú)外力）定解問(wèn)題為：??????????????20000.ttxxtuauxtuxxxuxxx???????????????????????????可以證明，原問(wèn)題具有如下形式的通解：將該通解代入泛定方程得到該

2、方程的附加方程：；????uxtfxt???220a???且解為。原方程的通解可以表示為:a?????????12uxtfxatfxat????原方程滿足初始條件的特解可以表示為:，這個(gè)式子就是達(dá)朗貝爾公式達(dá)朗貝爾公式????????11[]22xatxatuxtxatxatxdxa??????????為任意二次可微函數(shù).達(dá)朗貝爾解可以理解為擾動(dòng)在弦上總是以行波????xx??的形式沿相反的兩個(gè)方向傳播出去，因此該解發(fā)又稱為行波法行波法

3、或傳播波法傳播波法。2行波法要點(diǎn)行波法要點(diǎn)行波法始原于研究行進(jìn)波，其解題要領(lǐng)為：（1）引入變量代換，將方程化為變量可積的形式，從而求得其通解；（2）用定解條件確定通解中的任意函數(shù)（或常數(shù)），從而求得其特解。由于大多偏微分方程的通解難以求得，用定解條件定任意常數(shù)或函數(shù)也絕非易事，故行波法有較大局限性，但對(duì)于研究波動(dòng)問(wèn)題而言，有它的特殊優(yōu)點(diǎn)。??????11coscos222coscos2xatxatuxtxatxatdaxatt?????

4、??????????(2)由dAlembert公式可得：??????00222xtxtuxt??????????????????????(3)此處，故由dAlembert公式可得：????2101xxx???????????????2211110arctanarctan1212xatxatxxuxtdxatxatxaa????????????????????(4)由dAlembert公式可得：????????1122xatxatuxtx

5、atxatada????????????????????????????????1122xatxatxatxatxat???????????????????????2解：由易得：??????3uxyxyxy??????393xyxxxyyyuuuuu??????????????????????故有??????????LHS=92339631230RHS??????????????????????從而為該偏微分方程的通解。??????3u