向量法求二面角的大小

1、,向量法求二面角的大小,北京市房山區(qū)教師進修學(xué)校盧寒芳,四、教學(xué)過程的設(shè)計與實施,,一、教學(xué)背景的分析,二、教學(xué)目標(biāo)的確定,三、教學(xué)方法的選擇,,,,,,五、教學(xué)效果評價與反思,,,一、教學(xué)背景的分析,本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容選自人教高中數(shù)學(xué)B版選修2—1第 三章第2.4節(jié)“二面角及其度量”的第2課時．二面角是立體幾何的重要概念之一．它是學(xué)生在 學(xué)習(xí)異面直線所成的角，直線與平面所成的角之 后，又重點研究的一種空間角．

2、課標(biāo)要求：能用向量方法解決面面夾角的計算問 題，體會向量方法在研究幾何問題中的作用．,一、教學(xué)背景的分析,利用向量方法求解立體幾何問題是將邏輯推理轉(zhuǎn)化 為向量的代數(shù)運算. 三步曲：空間向量表示幾何元素→利用向量運算研 究幾何元素間的關(guān)系→把運算結(jié)果轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的幾 何結(jié)論.用到數(shù)形結(jié)合、類比轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想和方法，有助 于提高學(xué)生的思維能力．,一、教學(xué)背景的分析,已學(xué)習(xí)：二面角及二面角的平面角的概念會：

3、建立空間直角坐標(biāo)系 進行向量坐標(biāo)運算 求平面的法向量已掌握：用向量求解線線角、線面角的方法,二、教學(xué)目標(biāo)的確定,通過類比異面直線所成的角、直線與平面所成角的解決方法，得到用向量求二面角大小的方法，并能用之解決有關(guān)問題，體會向量方法在研究幾何問題中的作用．,通過經(jīng)歷向量法求二面角大小的推導(dǎo)過程，培養(yǎng)大膽探索精神，提高學(xué)習(xí)立體幾何的興趣．,在探究用向量法求二面角大小的過程中，

4、體會數(shù)形結(jié)合、類比轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，進一步提高空間想象能力、分析問題和解決問題的能力．,,重點和難點,重點:用法向量夾角求二面角的方 法的探究及應(yīng)用,難點:二面角與兩個半平面的法向 量夾角的關(guān)系,二、教學(xué)目標(biāo)的確定,,多媒體輔助,三、教學(xué)方法的選擇,,教師啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生自主探究,四、教學(xué)過程的設(shè)計與實施,,四、教學(xué)過程的設(shè)計與實施,,,l,,如何度量二面角α—l—β的大小,四、教學(xué)過程的設(shè)計與實施,異面直線

5、所成的角,,,,,,,,,,四、教學(xué)過程的設(shè)計與實施,,直線與平面所成的角,,,,,,,,,四、教學(xué)過程的設(shè)計與實施,設(shè)計意圖,四、教學(xué)過程的設(shè)計與實施,,四、教學(xué)過程的設(shè)計與實施,,,A,O,B,,,問題1： 二面角的平面角 能否轉(zhuǎn)化成向量的夾角？,四、教學(xué)過程的設(shè)計與實施,四、教學(xué)過程的設(shè)計與實施,設(shè)計意圖,四、教學(xué)過程的設(shè)計與實施,問題2：求直線和平面所成的角可轉(zhuǎn)化成直線的方向向量與平面的法向量的夾角，那

6、么二面角的大小與兩個半平面的法向量有沒有關(guān)系？,,四、教學(xué)過程的設(shè)計與實施,思考：法向量的夾角與二面角平面角的關(guān)系,,四、教學(xué)過程的設(shè)計與實施,,四、教學(xué)過程的設(shè)計與實施,,,,,,,,,,,四、教學(xué)過程的設(shè)計與實施,,,,,,,,,,,,,,,根據(jù)教師引導(dǎo)，由學(xué)生發(fā)現(xiàn)該二面角的求解可由向量的夾角來確定，調(diào)動學(xué)生探究這一問題的主動性和積極性.,,根據(jù)教師引導(dǎo)，由學(xué)生發(fā)現(xiàn)該二面角的求解可由向量的夾角來確定，調(diào)動學(xué)生探究這一問題的主動性和積

7、極性.,四、教學(xué)過程的設(shè)計與實施,設(shè)計意圖,,四、教學(xué)過程的設(shè)計與實施,,,,,,,,,,,,,,問題3：法向量的夾角與二面角的大小什么時候相等，什么時候互補？再次演示課件,,四、教學(xué)過程的設(shè)計與實施,,,,,,,,,,,,,,四、教學(xué)過程的設(shè)計與實施,設(shè)計意圖,,四、教學(xué)過程的設(shè)計與實施,四、教學(xué)過程的設(shè)計與實施,已知ABCD 是直角梯形,∠DAB=∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，

8、 ，求平面SAB與SCD 所成二面角的余弦值．,四、教學(xué)過程的設(shè)計與實施,設(shè)計意圖,四、教學(xué)過程的設(shè)計與實施,已知ABCD 是直角梯形,∠DAB=∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1， ，求平面SAB與SCD 所成二面角的余弦值．,四、教學(xué)過程的設(shè)計與實施,四、教學(xué)過程的設(shè)計與實施,四、教學(xué)過程的設(shè)計與實施,設(shè)計意圖,四、教學(xué)過程的設(shè)計與實施,總結(jié)出利用法向量求二面

9、角大小的一般步驟：1）建立坐標(biāo)系，寫出點與向量的坐標(biāo)；2）求出平面的法向量，進行向量運算求出法向量的 夾角；3）通過圖形特征或已知要求，確定二面角是銳角或 鈍角，得出問題的結(jié)果．,四、教學(xué)過程的設(shè)計與實施,設(shè)計意圖,四、教學(xué)過程的設(shè)計與實施,正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為2，點Q是BC的中點，求二面角A—DQ—A1的余弦值．,鞏固練習(xí)：,,四、教學(xué)過程的設(shè)計與實施,數(shù)形結(jié)合,類比轉(zhuǎn)化,兩個思想,四

10、、教學(xué)過程的設(shè)計與實施,一個步驟,兩種方法,半平面內(nèi)分別垂直于棱的向量的夾角,兩個平面的法向量的夾角求解,用法向量求二面角大小的步驟,四、教學(xué)過程的設(shè)計與實施,設(shè)計意圖,課后作業(yè)：1、如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1棱長為1 ， 試用多種方法求二面角A1－BD－C1的余弦值．2、P111練習(xí)A第3題，練習(xí)B第2題,四、教學(xué)過程的設(shè)計與實施,四、教學(xué)過程的設(shè)計與實施,五、教學(xué)效果的評價與反思,五、教學(xué)效果的