向量的內(nèi)積與二面角的計(jì)算

1、向量的內(nèi)積與二面角的計(jì)算林磊1向量的內(nèi)積與二面角的計(jì)算向量的內(nèi)積與二面角的計(jì)算華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系林磊在《高等代數(shù)與解析幾何》課程第一章向量代數(shù)的教學(xué)中，講到幾何空間的內(nèi)積時(shí)，有一個(gè)例題（見[1]，p53）要求證明如下的公式：(1)cossinsincoscoscos????????其中點(diǎn)O是二面角PMNQ的棱MN上的點(diǎn)，OA、OB分別在平面P和平面Q內(nèi)。，，。為二面角PMNQ（見圖1）。???AON???BON???AOB?b?a???

2、MyzDxBAQPNO圖1公式（1）可以利用向量的內(nèi)積來加以證明：以Q為坐標(biāo)平面，直線MN為y軸，如圖1建立直角坐標(biāo)系。記xOz平面與平面P的交線為射線OD，則，得MNOD?，，。?????2AOD???DOx?????2DOz分別沿射線OA、OB的方向上作單位向量，，則。a?b???ba??由計(jì)算知，的坐標(biāo)分別為a?b?，，)sinsincoscos(sin?????)0cos(sin??于是，。??????cossinsincosc

3、os||||cos???????bababa??????公式（1）在立體幾何計(jì)算二面角的平面角時(shí)是有用的。我們來介紹如下的兩個(gè)應(yīng)用。向量的內(nèi)積與二面角的計(jì)算林磊3當(dāng)然，在建立了直角坐標(biāo)系之后，通過計(jì)算向量的外積可計(jì)算出兩平面的法向量，利用法向量同樣也可算出夾角來。?例2計(jì)算正十二面體的兩個(gè)相鄰面的夾角的大小。?解我們知道正十二面體的每個(gè)面都是大小相同的正五邊形，且在正十二面體的每個(gè)頂點(diǎn)上均有3個(gè)面圍繞。設(shè)P和Q是兩個(gè)相鄰的面，MN是它們

4、的交線（如圖4），則公式（1）中的，，分別為：???，，，AMN???BMN???AMB???因此它們均為正五邊形的內(nèi)角。所以。????108???BANMQP圖4所以，由公式（1）知，?cos108sin108sin108cos108cos108cos??????????或。55108sin)108cos1(108coscos2????????因此，，或。55arccos????4533116??????如果不使用公式（1），要求出例