壓縮映象原理及其應(yīng)用

1、第六節(jié)第六節(jié)壓縮映象原理及其應(yīng)用壓縮映象原理及其應(yīng)用本節(jié)作為完備度量空間何重要特征，我們介紹Banach壓縮映象原理，它在許多關(guān)于存在唯一性的定理證明中是一個(gè)有力的工具。隨著現(xiàn)代電子計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，我們?cè)诮夥匠蹋òǔＮ⒎址匠獭⑵⒎址匠?、積分方程、差分方程、代數(shù)方程等）的過(guò)程中，大量使用的是逐次逼近的迭代法。幾乎可以這樣說(shuō)：對(duì)一個(gè)方程，只要我們找到一個(gè)迭代公式，就算解出了這個(gè)方程（當(dāng)然我們還要考慮迭代公式的收斂性、解的穩(wěn)定性和收斂速

2、度等問(wèn)題）。但是，在逐次迭代中，我們必須保證迭代過(guò)程中得到的是個(gè)收斂序列，否則就是毫無(wú)意義的了。而選代法解方程的實(shí)質(zhì)就是尋求變換（映射、映照）的不動(dòng)點(diǎn)。例如求方程f(x)=0的根，我們可令g(x)=xf(x)，則求f(x)=0的根就變成求g(x)的不動(dòng)點(diǎn)，即求0x使??00xxg?.而在通常求映射的不動(dòng)點(diǎn)的方法中，最簡(jiǎn)單的就是下面我們所講的Banach壓縮映象定理。定義（壓縮映象）設(shè)T是度量空間X到X中的映照，如果對(duì)XyXx???都有?

3、???yxdTyTxd??（10???是常數(shù)）則稱T是X上的一個(gè)壓縮映照。從幾何上說(shuō)：壓縮映照即點(diǎn)x和y經(jīng)過(guò)映照T后，它們的像的距離縮短了（不超過(guò)d(xy)的?倍）定理1（Banach壓縮映照原理）1922年（Banach18921945波蘭數(shù)學(xué)家）設(shè)（Xd）是一個(gè)完備度量空間，T是X上的一個(gè)壓縮映照，則丅有唯一的不動(dòng)點(diǎn)。即?的Xx?使.xTx?證：任取0Xx?令......11201????nnTxxTxxTxx（此即解方程的逐次迭代

4、法）先證??nx是Cauchy點(diǎn)列①①先考慮相鄰兩點(diǎn)的距離??????????01212111...xxdxxdxxdTxTxdxxdmmmmmmmmm??????????????②再考慮任意兩點(diǎn)的距離證：（在??Cba中考慮映照????xxfMT???1??，若其為壓縮映照，則有不動(dòng)點(diǎn)????xxfT?????0?）在完備度量空間??Cba中作映照????xxfMT???1??顯然對(duì)??Cba???由連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)有??CbaT?

5、?。T?是??Cba到自身的一個(gè)映照下證是壓縮的.即證??????10212121?????????????CbadTTd任取??Cba?21??由微分中值定理存在10???使????????xxfMxxfMTT11221211?????????????????????????12121121??????????????xxxxfMy?????????????Mmxx112??令Mm??1?則10???故1212????????TT取最

6、大值????101212??????????dTTd?映照T是壓縮的.由Banach壓縮映象定理在??Cba上有唯一的不動(dòng)點(diǎn)??x?使???T顯然這個(gè)不動(dòng)點(diǎn)適合????0?xxf?注：①注意本定理的證明思路：先確定空間，再找映照（這是難點(diǎn)）然后證明此映照是壓縮的，最后利用定理即得。注意到這是利用Banach壓縮映照定理解題的一般方法。②②此隱函數(shù)存在定理給出的條件強(qiáng)于數(shù)學(xué)分析中隱函數(shù)存在定理所給出的條件，因而得出的結(jié)論也強(qiáng)些：此處得出區(qū)