08群論的起源與發(fā)展

1、群論的起源與發(fā)展（杰出的數(shù)學(xué)天才群論的起源與發(fā)展（杰出的數(shù)學(xué)天才——伽羅華）伽羅華）群論起源于對代數(shù)方程的研究，它是人們對代數(shù)方程求解問題邏輯考察的結(jié)果。群理論被公認(rèn)為十九世紀(jì)最杰出的數(shù)學(xué)成就之一。最重要的是，群論開辟了全新的研究領(lǐng)域，同時(shí)這種理論對于物理學(xué)、化學(xué)的發(fā)展，甚至對于二十世紀(jì)結(jié)構(gòu)主義哲學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展都發(fā)生了巨大的影響。我們今天就主要了解它的發(fā)展里程，成長歷史。群論產(chǎn)論產(chǎn)生的生的歷史背景史背景從方程的根式解法發(fā)展過程來看，早在

2、古巴比倫數(shù)學(xué)和印度數(shù)學(xué)的記載中，他們就能夠用根式求解一元二次方程ax2bxc=0，接著古希臘人和古東方人又解決了某些特殊的三次數(shù)字方程，但沒有得到三次方程的一般解法。這個(gè)問題直到文藝復(fù)興的極盛期（即16世紀(jì)初）才由意大利人解決。同一時(shí)期，意大利人費(fèi)爾拉里又求解出一般四次方程x4ax3bx2cxd=0的根是由系數(shù)的函數(shù)開四次方所得。但是在以后的幾個(gè)世紀(jì)里，探尋五次和五次以上方程的一般公式解法卻一直沒有得到結(jié)果。1770年前后，法國數(shù)學(xué)家拉

3、格朗日轉(zhuǎn)變代數(shù)的思維方法，提出方程根的排列與置換理論是解代數(shù)方程的關(guān)鍵所在，他的工作有力地促進(jìn)了代數(shù)方程論的進(jìn)步。但是他的這種方法卻不能對一般五次方程作根式解，于是他懷疑五次方程無根式解。并且他在尋求一般n次方程的代數(shù)解法時(shí)也遭失敗，從而認(rèn)識(shí)到一般的四次以上代數(shù)方程不可能有根式解。他的這種思維方法和研究根的置換方法給后人以啟示。相繼魯菲尼和高斯都在這方面進(jìn)行了研究。隨后，挪威數(shù)學(xué)家阿貝爾開始解決這個(gè)問題。1824年到1826年，阿貝爾著

4、手考察可用根式求解的方程的根具有什么性質(zhì)，于是他修正了魯菲尼證明中的缺陷，嚴(yán)格證明：如果一個(gè)方程可以根式求解，則出現(xiàn)在根的表達(dá)式中的每個(gè)根式都可表示成方程的根和某些單位根的有理數(shù)。并且利用這個(gè)定理又證明出了阿貝爾定理：一般高于四次的方程不可能代數(shù)地求解。接著他進(jìn)一步思考哪些特殊的高次方程才可用根式解的問題。在高斯分圓方程可解性理論的基礎(chǔ)上，他解決了任意次的一類特殊方程的可解性問題，發(fā)現(xiàn)這類特殊方程的特點(diǎn)是一個(gè)方程的全部根都是其中一個(gè)根（

5、假設(shè)為x）的有理函數(shù)，并且任意兩個(gè)根q1(x)與q2(x)滿足q1q2(x)=q2q1(x)，q1，q2為有理函數(shù)。現(xiàn)在稱這種方程為阿貝爾方程。其實(shí)在對阿貝爾方程的研究中已經(jīng)涉及到了群的一些思想和特殊結(jié)果，只是阿貝爾沒能意識(shí)到，也沒有明確地構(gòu)造方程根的置換集合，而僅僅考慮可交換性q1q2(x)=q2q1(x)來證明方程只要滿足這種性質(zhì)，便可簡化為低次的輔助方程，輔助方程可依次用根式求解。了，以參加科學(xué)院的數(shù)學(xué)大獎(jiǎng)評選，希望能夠獲獎(jiǎng)。論文

6、寄給當(dāng)時(shí)科學(xué)院終身秘書傅立葉，但傅立葉在當(dāng)年5月去世了，在他的遺物中未能發(fā)現(xiàn)伽羅華的手稿。就這樣，伽羅華遞交的兩次數(shù)學(xué)論文都被遺失了。1831年1月，伽羅華在尋求確定方程的可解性這個(gè)問題上，又得到一個(gè)結(jié)論，他寫成論文提交給法國科學(xué)院。這篇論文是伽羅華關(guān)于群論的重要著作，當(dāng)時(shí)負(fù)責(zé)審查的數(shù)學(xué)家泊阿松為理解這篇論文絞盡腦汁。傳說泊阿松將這篇論文看了四個(gè)月，最后結(jié)論居然是“完全不能理解”。盡管借助于拉格朗日已證明的一個(gè)結(jié)果可以表明伽羅華所要證明

7、的論斷是正確的，但最后他還是建議科學(xué)院否定它。伽羅華誕生在拿破侖帝國時(shí)代，經(jīng)歷了波旁王朝的復(fù)辟時(shí)期，又趕上路易腓力浦朝代初期，年輕熱情的伽羅華對師范大學(xué)教育組織極為不滿。由于他揭發(fā)了校長吉尼奧對法國七月革命政變的兩面派行為，被吉尼奧的忠實(shí)朋友，皇家國民教育委員會(huì)顧問庫申起草報(bào)告，皇家國民教育委員會(huì)1831年1月8日批準(zhǔn)立即將伽羅瓦開除出師范大學(xué)。之后，他進(jìn)一步積極參加政治活動(dòng)。1831年5月l0日，伽羅華以“企圖暗殺國王”的罪名被捕。在

8、監(jiān)獄中伽羅華一方面與官方進(jìn)行不妥協(xié)的斗爭，另一面他還抓緊時(shí)間刻苦鉆研數(shù)學(xué)。盡管牢房里條件很差，生活艱苦，他仍能靜下心來在數(shù)學(xué)王國里思考。l832年3月16日伽羅華獲釋后不久，年輕氣盛的伽羅華為了一個(gè)舞女，卷入了一場他所謂的“愛情與榮譽(yù)”的決斗。伽羅華非常清楚對手的槍法很好，自己難以擺脫死亡的命運(yùn)，所以連夜給朋友寫信，倉促地把自己生平的數(shù)學(xué)研究心得扼要寫出，并附以論文手稿。他不時(shí)的中斷，在紙邊空白處寫上“我沒有時(shí)間，我沒有時(shí)間”，然后又接

9、著寫下一個(gè)極其潦草的大綱。他在天亮之前那最后幾個(gè)小時(shí)寫出的東西，為一個(gè)折磨了數(shù)學(xué)家們幾個(gè)世紀(jì)的問題找到了真正的答案，并且開創(chuàng)了數(shù)學(xué)的一片新的天地。第二天上午，在決斗場上，伽羅華被打穿了腸子。歷史學(xué)家們曾爭論過這場決斗是一個(gè)悲慘遭的愛情事件的結(jié)局，還是出于政治動(dòng)機(jī)造成的，但無論是哪一種，一位世界上最杰出的數(shù)學(xué)家在他20歲時(shí)被殺死了，他研究數(shù)學(xué)才只有五年。伽羅華最主要的成就是提出了群的概念，并用群論徹底解決了根式求解代數(shù)方程的問題，而且由此