高二數(shù)學(xué)競賽班二試平面幾何講義.第十講 幾何不等式doc3

1、1高二數(shù)學(xué)競賽班二試平面幾何講義高二數(shù)學(xué)競賽班二試平面幾何講義第十講第十講幾何不等式幾何不等式班級班級姓名姓名一、知識要點(diǎn)：一、知識要點(diǎn)：1Ptolemy（托勒密）不等式若ABCD為四邊形，則ABCDADBC≥ACBD。等號成立時(shí)ABCD四點(diǎn)共圓2Erdos－Mdell（埃爾多斯—莫德爾）不等式設(shè)P是ΔABC內(nèi)任意一點(diǎn)，P到ΔABC三邊BCCAAB的距離分別為PD=pPE=qPF=r，記PA=xPB=yPC=z。則xyz≥2(pqr)證

2、明：因?yàn)镻EAF四點(diǎn)共圓，PA為直徑，則有:EF=PAsinA。在ΔPEF中，據(jù)余弦定理得:EF^2=q^2r^22qrcos(πA)=q^2r^22qrcos(BC)=(qsinCrsinB)^2(qcosCrcosB)^2≥(qsinCrsinB)^2，所以PAsinA≥qsinCrsinB，即PA=x≥q(sinCsinA)r(sinBsinA)(1)。同理可得:PB=y≥r(sinAsinB)p(sinCsinB)(2)，PC=

3、z≥p(sinBsinC)q(sinAsinC)(3)。由(1)(2)(3)得:xyz≥p(sinBsinCsinCsinB)q(sinCsinAsinAsinC)r(sinAsinBsinBsinA)≥2(pqr)。命題成立。3Weitzenberk（外森比克）不等式：若為三角形三邊長，是三角形面積則：。abcS22243abcS???等號成立當(dāng)且僅當(dāng)為等邊三角形。ABC?證明：只需證明，222212cos43sin2abababCa

4、bC??????只需證明，，成立。22(cos3sin)ababCC???222sin()6ababC????4Euler（歐拉）不等式設(shè)ABC外接圓與內(nèi)切圓的半徑分別為R、r，則R≥2r，當(dāng)且僅當(dāng)?ABC為正三角形時(shí)取等號。?5等周定理（等周不等式）①周長一定的所有圖形中，圓的面積最大；面積一定的所有圖形中，圓的周長最小。②周長一定的所有n邊形中，正n邊形的面積最大；面積一定的所有n邊形中，正n邊形的周長最小。6Fermat（費(fèi)馬）問

5、題到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最短的點(diǎn)叫做費(fèi)爾馬點(diǎn)。對于一個(gè)頂角不超過的三角形，費(fèi)爾馬點(diǎn)是對各邊的張角都是的點(diǎn)。對于一個(gè)頂角超120?120?3三、精選習(xí)題：三、精選習(xí)題：1如圖，在△ABC中，P為邊BC上任意一點(diǎn)，PE∥BA，PF∥CA，若S△ABC=1，證明：S△BPF、S△PCE、S□PEAF中至少有一個(gè)不小于(SXY…Z表示多邊形XY…Z49的面積)2設(shè)凸四邊形ABCD的面積為1，求證：在它的邊上(包括頂點(diǎn))或內(nèi)部可以找出四個(gè)點(diǎn)