第1章函數與極限習題解答

1、第1章函數與極限習題解答函數與極限習題解答1第1章函數與極限習題解答函數與極限習題解答1.兩個無窮小的商是否一定是無窮小？舉例說明之.解不一定.例如當x?0時?(x)?2x?(x)?3x都是無窮小但不是32)()(lim0??xxx??)()(xx??無窮小.2.函數y?xcosx在(????)內是否有界？這個函數是否為當x???時的無窮大？為什么？解函數y?xcosx在(????)內無界.這是因為?M?0在(????)內總能找到這樣的

2、x使得|y(x)|?M.例如y(2k?)?2k?cos2k??2k?(k?012???)當k充分大時就有|y(2k?)|?M.當x???時函數y?xcosx不是無窮大.這是因為?M?0找不到這樣一個時刻N使對一切大于N的x都有|y(x)|?M.例如(k?012???)0)22cos()22()22(???????????kkky對任何大的N當k充分大時總有但|y(x)|?0?M.Nkx???22??3.證明:函數在區(qū)間(01]上無界但這

3、函數不是當x?0時的無窮大.xxy1sin1?證明證明函數在區(qū)間(01]上無界.這是因為xxy1sin1??M?0在(01]中總可以找到點xk使y(xk)?M.例如當(k?012???)221????kxk時有22)(????kxyk當k充分大時y(xk)?M.當x?0時函數不是無窮大.這是因為xxy1sin1??M?0對所有的??0總可以找到這樣的點xk使0?xk??但y(xk)?M.例如可取(k?012???)?kxk21?當k充分

4、大時xk??但y(xk)?2k?sin2k??0?M.4.計算下列極限計算下列極限:(1)121lim22?????xxxx第1章函數與極限習題解答函數與極限習題解答3(9)xxx10)21(lim??解.??22210221010)21(lim)21(lim)21(limexxxxxxxxx??????????(10)xxxx2)1(lim???解.??222)11(lim)1(limexxxxxxx????????5.利用極限存在準

5、則證明利用極限存在準則證明:(1)111lim????nn證明證明因為而且由極限存在準則I.nn11111????11lim???n1)11(lim????nn111lim????nn(2)??11211lim222???????????????nnnnnn證明證明因為?????????????????????22222221211nnnnnnnnnn而1lim22?????nnnn1lim22?????nnn所以???11211lim

6、222???????????????nnnnnn(3).??11lim0???xxx證明證明因為所以.又因為根據夾逼準則??xxx1111?????111???xxx11lim)1(lim00???????xxx有.??11lim0???xxx6.無窮小概念題無窮小概念題(1)當x?0時?2x?x2與x2?x3相比?哪一個是高階無窮?。拷庖驗?2lim2lim202320????????xxxxxxxxx所以當x?0時?x2?x3是高階

7、無窮小即x2?x3?o(2x?x2).(2)當x?1時?無窮小1?x和(ⅰ)1?x3(ⅱ)是否同階？是否等價？)1(212x?解(ⅰ)因為3)1(lim1)1)(1(lim11lim212131??????????????xxxxxxxxxxx所以當x?1時1?x和1?x3是同階的無窮小但不是等價無窮小.(ⅱ)因為1)1(lim211)1(21lim121???????xxxxx所以當x?1時1?x和是同階的無窮小而且是等價無窮小.)1