第1章函數(shù)與極限

1、1第一章第一章函數(shù)與極限函數(shù)與極限內容提要：內容提要：一、函數(shù)的兩個要素二、極限的定義（科學的e語言）1數(shù)列極限的定義，充要條件，3性質：唯一，有界，保號2函數(shù)極限的定義，充要條件，3性質：唯一，局部有界，保號3極限與無窮小關系定理三、無窮小的運算與比較1無窮小的運算：和，積，有界積2無窮小的比較：高階，同階，等價，k階無窮小四、等價無窮小1常用的等價無窮小2等價無窮小代換定理五、極限的四則運算六、極限存在的兩個準則：夾逼準則，單調有界

2、。要記住的結論：，1lim???nna1lim???nnn七、兩個重要極限八、洛比達法則九、連續(xù)與間斷十、極限理論1最值定理2保號定理：3介值定理4零點定理保函數(shù)號定理：保極限號定理：十一、求極限的方法：強行代入，定型定法十二、求漸近線第一章函數(shù)第一章函數(shù)極限極限連續(xù)連續(xù)一、函數(shù)要素題型一、函數(shù)要素題型例1解：解：利用函數(shù)與表示法無關的特性代入原方程，得代入上式得解聯(lián)立方程組二、極限與無窮小關系定理二、極限與無窮小關系定理例設，求，求G

3、7YT50)(6sinlim30???xxxfxx20)(6limxxfIx???).(.102)1()(xfxxxxxfxf求其中設?????1xxt??令11tx??即12)()11(ttftf????12)11()(xxfxf????即)1(2)1()11(uuuufuf?????)1(2)1()11(xxxxfxf?????即的方程組。、、得)11()1()(xfxxfxf???????????????????????(3))1

4、(2)1()11((2)12)11()((1)2)1()(xxxxfxfxxfxfxxxfxf得)3()2()1(??xxxxxf)1(2122)(2?????.1111)(??????xxxxf111uux???令11ux??即3再證有界假設，則有由數(shù)學歸納法知3101??x31??kx33661??????kkxx3?nx最后求極限：由分析知極限為3例2設，試證數(shù)列，試證數(shù)列的極限存在，并求此極限。的極限存在，并求此極限。（此題不考

5、）（此題不考）)21(12211??????nxxxnnnx分析不是單調型，但奇單調增，偶單調減。先求極限為416.24.25.224321????xxxx21?解：1、先證奇子列單調增假設則4.2231???xx1212???kkxx奇子列單調增011112212212121222212122222222221232???????????????????????kkkkkkkkkkkkkkkkkkxxxxxxxxxxxxxxxxxx同

6、理可證偶子列單調減。2、再證奇子列，偶子列有界由極限為=2.414左右知可用2和3為界。由知21?321??x故；假設，則，，1101??x312212????xx32??kx110??kx31221?????kkxx故數(shù)列有界3、求奇子列的極限由于設其極限為，則，12212121212???????nnnxxxaaa1212???21??a同理求偶子列的極限也為。由極限存在定理知21??a21lim????nnx例3設，試證數(shù)列，試證

7、數(shù)列的極限存在，并求此極限。的極限存在，并求此極限。L7)21(6011??????nxxxnnnx分析此題為糊涂頭。先求極限：)(236舍去?????aaaa解1、若，則。設，則即單增301??x1126xxx???1??kkxx661????kkxxkkxx??1由，設，則有界，故極限存在，求出為3301??x3?kx361????kkxx2、若，則，故極限為33、若，則為例1。31?x3?nx31?x七、例七、例406S12設，（