經(jīng)典幾何習(xí)題參考答案

1、經(jīng)典幾何習(xí)題參考答案經(jīng)典幾何習(xí)題參考答案一概念題1歐幾里得的幾何原本的概要。答：在《幾何原本》中歐幾里得先對(duì)一些基本概念(如點(diǎn)、直線、平面等)給出了定義:1）點(diǎn)沒(méi)有部分2）線有長(zhǎng)度但沒(méi)有寬度3）線的界限是點(diǎn)4）直線是同其中各點(diǎn)看齊的線5）面只有長(zhǎng)度和寬度6）面的界限是線7）平面是與其上的直線看齊的那種面8）圓是包含在一條(曲)線里的那種平面圖形使得從其內(nèi)部某一點(diǎn)連到該線的所有直線(線段)都彼此相等并稱圓內(nèi)上述的那個(gè)點(diǎn)為圓的中心(簡(jiǎn)稱圓心

2、)9）平行直線是在同一平面內(nèi)而且往兩個(gè)方向無(wú)限延長(zhǎng)后在這兩個(gè)方向上都不會(huì)相交的直線。歐幾里得總共引入了119個(gè)定義承認(rèn)了五條公設(shè):1）等于同量的量是相等的2）等量加等量還是等量3）等量減等量還是等量4）能重合的量是全等的5）整體大于部分。接著歐幾里得再給出了五個(gè)公理:I.從每個(gè)點(diǎn)到每個(gè)其他的點(diǎn)必定可以引直線。II.每條直線都可以無(wú)限延長(zhǎng)。III.以任意點(diǎn)作中心通過(guò)任何給定的另一點(diǎn)可以作一圓。IV.所有直角都相等。V.同平面內(nèi)如有一條直線

3、與另兩條直線相交且在前一條直線的某一側(cè)所交的兩內(nèi)角之和小于兩直角則后兩條直線無(wú)限延長(zhǎng)后必在這一側(cè)相交。歐幾里得在此基礎(chǔ)上運(yùn)用邏輯推斷導(dǎo)出了許許多多的命題(在《幾何原本》中包含了465個(gè)命題)從而構(gòu)成了歐幾里得幾何學(xué)。2Hilbert的歐幾里得幾何的公理系統(tǒng)概要。答：1899年Hilbert提出了歐氏幾何的一套完整的公理體系。首先他提出了八個(gè)基本概念其中三個(gè)是基本對(duì)象:點(diǎn)、直線、平面點(diǎn)、直線、平面五個(gè)是基本關(guān)系:點(diǎn)屬于屬于(或結(jié)合或結(jié)合)

4、直線直線點(diǎn)屬于點(diǎn)屬于(或結(jié)合或結(jié)合)平面平面一點(diǎn)在另兩點(diǎn)之間一點(diǎn)在另兩點(diǎn)之間兩線段合兩線段合同兩角合同兩角合同。這些基本概念應(yīng)服從下述五套公理:結(jié)合公理結(jié)合公理:共有8個(gè)。.對(duì)于兩個(gè)不同的點(diǎn)恒有一直線結(jié)合其中的每個(gè)點(diǎn)。1I.對(duì)于兩個(gè)不同的點(diǎn)至多有一直線結(jié)合其中的每個(gè)點(diǎn)。2I.每條直線上至少有兩個(gè)不同的點(diǎn)。1.3I于且在的已知一側(cè)。記為.)(kh???k???)()(khkh?????..2.4III)()(hkkh???.(三角形合同公

5、理)對(duì)于兩個(gè)三角形和若5IIIABCCBA???BAAB???則.CAAC???CABBAC??????CBAABC??????連續(xù)公理連續(xù)公理IV.(Dedkind公理)若線段兩端及其內(nèi)部的所有的點(diǎn)能被分為兩類具有AB下列性質(zhì):(1)每點(diǎn)恰屬一類屬于第一類屬于第二類AB(2)第一類中異于的每個(gè)點(diǎn)在和每個(gè)第二類點(diǎn)之間AA則必存在一點(diǎn)使得間的點(diǎn)都屬于第一類而之間的點(diǎn)都屬于CACCB第二類。稱點(diǎn)為Dedkind點(diǎn)或界點(diǎn)。由它所決定的分類叫做

6、一個(gè)Dedkind分割。C平行公理平行公理:V.(歐氏平行公理)對(duì)于任何直線和不在其上的任何點(diǎn)至多有一條直線aA過(guò)而且與直線共面但不相交。Aa從這些公理出發(fā)根據(jù)邏輯推斷所得出的一系列命題就構(gòu)成了歐氏幾何的全部?jī)?nèi)容。3.試敘述非歐幾何的上半平面模型。ePoincar答：基本對(duì)象基本對(duì)象:取上半平面內(nèi)部的點(diǎn)（不包括軸上的點(diǎn)）x作為非歐幾何中的“點(diǎn)”取上半平面中以為圓心的上半開(kāi)O圓周或者上半平面中與軸垂lx直的開(kāi)直線作為非歐幾何中l(wèi)的“直線”

7、?；娟P(guān)系基本關(guān)系：點(diǎn)在直線上；順序關(guān)系；合同關(guān)系。“點(diǎn)在直線上”和“順序關(guān)系都能如圖中所示地去理解。PQR對(duì)于合同關(guān)系。我們先來(lái)定義上半平面中點(diǎn)的“對(duì)稱”變換。有兩種“對(duì)稱”:一種是關(guān)于與軸垂直的開(kāi)直線的“對(duì)稱”它實(shí)際上就是點(diǎn)關(guān)于直線的xll鏡面反射如圖中的點(diǎn)被映至點(diǎn)；BB?另一種是關(guān)于以軸上的點(diǎn)為圓心為半徑的上半開(kāi)圓周的“對(duì)稱”變xORl換它實(shí)際上就是關(guān)于圓周的反演它將點(diǎn)變到點(diǎn)使得lAA?2||||RAOOA???如果通過(guò)一系列的“