均值不等式常見(jiàn)錯(cuò)解及解決辦法

1、例析均值不等式常見(jiàn)錯(cuò)解及解決辦法例析均值不等式常見(jiàn)錯(cuò)解及解決辦法運(yùn)用均值不等式（，當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)取等號(hào)）是求解最2abab??abR?ab?值的一種常用方法，也是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，不少同學(xué)在使用時(shí)不能很好的抓住本質(zhì)要求，造成了很多不該發(fā)生的錯(cuò)誤本文就教學(xué)過(guò)程中的幾個(gè)典型問(wèn)題舉例說(shuō)明例1已知，求的最值01x??4lglgyxx??錯(cuò)解錯(cuò)解∵為定值，∴，4lg4lgxx??44lg2lg4lglgxxxx????∴的最

2、小值為44lglgyxx??錯(cuò)解剖析錯(cuò)解剖析雖然為定值，但是因?yàn)椋?，所以此時(shí)不能直接4lg4lgxx??01x??lg0x?應(yīng)用均值不等式，需要將負(fù)數(shù)轉(zhuǎn)化為正數(shù)后再使用均值不等式正解正解∵，∴，，01x??lg0x?lg0x??∴，即，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，4(lg)4lgyxx??????4y??4lglgxx???1100x?∴的最大值為4lglgyxx??4?例2已知，求的最小值0x???2sinsinyxx??錯(cuò)解錯(cuò)解∵，∴，∴

3、，∴函數(shù)最小值為0x???sin0x?2sin22sinyxx???22錯(cuò)解剖析錯(cuò)解剖析本題雖有為定值2，但是不可能成立，所以等號(hào)成立2sinsinxx?2sinsinxx?前提下的最小值取不到而可以利用函數(shù)的單調(diào)性解決22正解正解設(shè)，則，sinxt?2ytt??((01])t?易證函數(shù)在上是減函數(shù)，∴即時(shí)，函數(shù)的最小值為32ytt??(01]t?1t?2x??例3已知求的最小值49001xyxy????xy?錯(cuò)解錯(cuò)解∵，∴222222

4、axaxbyby????222213222axbyaxby??????∴的最大值為axby?132錯(cuò)解剖析錯(cuò)解剖析取到最大值的前提是且，但是此時(shí)，即，132ax?by?2222abxy???49?顯然等號(hào)不能成立，所以本題不能直接運(yùn)用均值不等式，但仍然可以用如下方法予以解決解法一解法一令，2cos2sin3cos3sinabxy????????∴，6coscos6sinsin6cos()axby???????????∴的最大值為6axb

5、y?解法二解法二令，由平面向量的數(shù)量積的性質(zhì)，得()()mabnxy?????||||mnmn????????，當(dāng)且僅當(dāng)和同向，即時(shí)等號(hào)成立（注意：不能表示為），6axby??m??n?aybx?abxy?∴的最大值為6axby?解法三解法三由柯西不等式，可知2222211221212()()()mnmnmmnn????，22222()()()36axbyabxy?????即，∴的最大值為666axby????axby?可見(jiàn)，在應(yīng)用均值