東北師范大學(xué)物理系

1、量子力學(xué)量子力學(xué)練習(xí)題練習(xí)題1答案答案一。基本概念及簡要回答1.和是否相等？為什么？p??p??答：不相等。因為是動量的本證態(tài)，而是動量的本證態(tài)，實際上與代表同一個態(tài)。p????p??p??p?p??p?2判定下列符號中，哪些是算符？哪些是數(shù)？哪些是矢量？；；；。??)()(tt??wvu?wFu?答：是算符，，是數(shù)，??)()(tt??wFu?是矢量。wvu?3.波函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是否一定要連續(xù)？舉例說明。答：不一定。例如，對于無限深勢阱波

2、函數(shù)中粒子波函數(shù)在全空間連續(xù)，但微商在和點不連續(xù)。0??a4為什么既不能把波理解為‘粒子的某種實際結(jié)構(gòu)，即把波包看作粒子’，也不把波理解為‘由大量粒子分布于空間而形成的波，??即把波看作由粒子構(gòu)成的’？答：自由粒子的物質(zhì)波包必然要擴(kuò)散，與實驗矛盾。所以不能‘把波包看作粒子’；另一方面，戴維遜戈末實驗表明電子的波動性不是很多電子在空間聚集在一起時才呈現(xiàn)的現(xiàn)象，單個電子就具有波動性，否則每次只有一個粒子，但長時間的衍射干涉就不會有干涉花樣.

3、所以不能‘把波看作由粒子構(gòu)成的’。5.設(shè)，，。試判斷下列算符哪些是厄米算符，哪些不是。??AA????BB????0AB?????，(1)(2)(3)(4)。1?????()2FABBAi?????GAB????CAiB?????DAB??解：（1），1?????()2FABBAi??11?????????()()22FBAABABBAii??????????，即為厄米算符。???FF???F（2），???GAB????????????

4、?GABBABAABG?????????。不是厄米算符。??G（3），???CAiB?????CAiB???，即不是厄米算符。???CC???C（4），???DAB???????DABAB???????，即為厄米算符。???DD???D6(9’)(9’)指出下列使用的Dirac符號那些是不正確的。為什么？A.B.C.D.)(t?)(x?)(t?()rr?????E.F..10????????)(xxx???答：B，E，F(xiàn)不正確。B中是力

5、學(xué)量，是態(tài)在的振幅，不能用一個點的振幅代表態(tài)。E，F(xiàn)不正確是因為左邊是態(tài)與具體表x??x??x象無關(guān)的Dirac符號態(tài)矢量，右邊是有具體表象決定的波函數(shù)。7(5’)簡述態(tài)迭加原理。若，且，那么的物理意義是什么？??nnnc??nnnfF????nncc?答：迭加原理：如果，是體系的可能狀態(tài)，那么它們的線性迭加1?2?1212cc?????（是復(fù)數(shù)）也是這個體系的一個可能狀態(tài)，這就是量子力學(xué)的態(tài)迭加原理。12cc的物理意義：在態(tài)中包含態(tài)的

6、振幅，是包含態(tài)的幾率。當(dāng)是某一個算符本征值時，就是這個本征nc?n?2||ncn?n?2||nc值在這個態(tài)中出現(xiàn)的概率。8(5’)在一維諧振子基態(tài)得經(jīng)典區(qū)域之外，粒子出現(xiàn)的幾率也不為零，這是否意味粒子的動能可為負(fù)值？怎樣解釋這一結(jié)果？答：不能。因為pkEEE??將和寫成標(biāo)準(zhǔn)形式：1V2V222112222211()221()2VxkxmxVxkxmx??????可得，又有：212???2222122201122202()()xxxemx

7、em????????????????????????????????其中22212??????因此222112()200222xedx??????????????????????????所求概率為?200222????????2、質(zhì)量為m的粒子，在阱寬為a的一維無限深勢阱中運(yùn)動，若t=0時，體系處于)()()()0(332211xcxcxcx???????態(tài)，式中，n=1，2，3……21()2nnnHma??????1232221???

8、ccc求：（1）（5’）t=0時，及的幾率E22222maE???（2）(5’)t0時的波函數(shù)，能量的可能取值及相應(yīng)幾率。)(tx?（3）若粒子處于基態(tài)，求axa??sin21?A（5’）粒子的動量分布（只列公式，不必計算）B(7’)當(dāng)阱寬突然變?yōu)?a時，求粒子處于新的基態(tài)的幾率（只列公式，不必計算）。解：（1）222222222222123()()()2922ECCCmamama?????????的幾率是22222maE???22C(