變分法補(bǔ)充講義

1、變分法補(bǔ)充講義變分法補(bǔ)充講義（20040217）1變分法的基本預(yù)備定理（基本引理）變分法的基本預(yù)備定理（基本引理）如果函數(shù)?(x)在線段(x0x1)上連續(xù)，且對于只滿足某些一般條件的任意選定的函數(shù)??x?（例如，一階或若干階可微，在線段(x0x1)的端點(diǎn)處為0，??x??或|??x?|?和|?’?x?|?等），有，則在0)()(10??xxdxxx??線段。0)(10???xxxx?上證明：（反證法）假定在線段x0?x?x1上一點(diǎn)處，事

2、實(shí)上，由?(x)的連續(xù)性xx?0)(?x?可知，??x?在點(diǎn)的一鄰域內(nèi)不變號。x)(10xxx??如果取??x?也在這個(gè)鄰域內(nèi)不變號且在鄰域之外等于0，即如圖所示：則????10100)()()()(xxxxdxxxdxxx????因在上保持定號，在之外等于0。)()(xx??][10xx][10xx則與定理假設(shè)相矛盾，所以必有。0)(?x?而如圖所示的可選?。?(x?0x1x0x1x0x??x?（2）泛函數(shù)極值的必要條件：定理定理：若

3、可微泛函在上達(dá)到極?。ù螅┲?，則在)]([xyJ)(0xyy?上有。)(0xyy?0?J?證明證明：對于任意給定的來說，是實(shí)變量?的函數(shù)。由定理的假設(shè)可y?][0yyJ???知，函數(shù)在?=0時(shí)達(dá)到極值，所以在?=0時(shí)，導(dǎo)數(shù)為0，即][0yyJ???0][00?????????yyJ由泛函變分的另一種定義，知左邊等于泛函的變分，又由于)]([xyJ是任意給定的，從而定理得證。)(xy?又證明又證明：（從第一種定義證明）。由泛函極值的定義，

4、若在上達(dá)到極值，則存在)]([xyJ)(0xyy?的一個(gè)鄰域，對于該鄰域內(nèi)的任一容許函數(shù)，泛函增量)(0xyy?)(xyy?不變號。而當(dāng)時(shí)，?J=0。)]([)]([0xyJxyJJ???)(0xyy?又由泛函變分的定義，當(dāng)變分存在時(shí)，泛函的變分與函數(shù)的變分J?J?之間具有線性關(guān)系。)()(0xyxyy???顯然，在這種情況下，若要求對任意的足夠小的，相應(yīng)的泛函增量（即y?泛函的變分）均不變號，則必須有=0。J?J?3導(dǎo)數(shù)的表示導(dǎo)數(shù)的表