變分法在離散哈密爾頓系統(tǒng)周期邊值問題中的應(yīng)用.pdf

1、非線性哈密爾頓系統(tǒng)一直是數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家的重要研究對(duì)象.近年來這一領(lǐng)域中的新的研究成果已經(jīng)在非線性分析、代數(shù)拓?fù)?、?shù)學(xué)物理和微分幾何等諸多學(xué)科中產(chǎn)生了重大影響. 微分方程中的變分方法是把微分方程邊值問題化為變分問題以證明解的存在性、解的個(gè)數(shù)等.變分理論涵蓋的內(nèi)容非常廣泛.我們利用變分理論中的最小作用原理、極小極大原理，以及Morse理論研究了離散哈密爾頓系統(tǒng)的周期邊值問題.第一章是緒論，介紹了研究問題的背景、現(xiàn)狀及我們的主要工作

2、. 第二章利用Morse理論研究了一階離散系統(tǒng)的周期解存在性.在已知系統(tǒng)具有非共振的平凡解的前提下，我們考慮了兩種情形：非線性項(xiàng)在無窮遠(yuǎn)處是漸近線性的或超線性的.其中，當(dāng)非線性項(xiàng)在無窮遠(yuǎn)處是漸近線性時(shí)，如果變分泛函在無窮遠(yuǎn)處的Morse指標(biāo)和原點(diǎn)處的Morse指標(biāo)不同，則離散系統(tǒng)存在非平凡的周期解.當(dāng)非線性項(xiàng)在無窮遠(yuǎn)處是超線性增長，利用Morse理論證明了系統(tǒng)至少有三個(gè)周期解. 結(jié)合Morse理論和極小極大原理，第三章研

3、究了二階離散系統(tǒng)的周期解問題.如果非線性項(xiàng)在無窮遠(yuǎn)處和原點(diǎn)處都是漸近線性增長的，并且系統(tǒng)在無窮遠(yuǎn)處和原點(diǎn)處是共振的，我們得到了系統(tǒng)存在非平凡的周期解. 第四章討論的是二階離散系統(tǒng)具有變號(hào)勢函數(shù)時(shí)周期解的存在性，討論了漸近超二次和漸近次二次兩種情形，給出了周期解存在的充分條件.這里利用的工具是Morse理論. 第五章研究了一階離散系統(tǒng)的邊值問題.我們構(gòu)造了對(duì)應(yīng)問題的變分泛函，并針對(duì)兩種不同的情形，分別利用變分理論中的鞍點(diǎn)定

4、理和最小作用原理，通過尋找變分泛函的臨界點(diǎn)，得到了解的存在性結(jié)論. 利用Clarke對(duì)偶、最小作用原理，以及擾動(dòng)技巧，第六章研究了帶強(qiáng)迫項(xiàng)的一階離散凸哈密爾頓系統(tǒng)的周期解存在性問題.我們引入了新的對(duì)偶作用泛函，證明了系統(tǒng)的周期解對(duì)應(yīng)于對(duì)偶泛函的臨界點(diǎn)，并且泛函在臨界點(diǎn)處取其最小值. 通過討論特征值問題，并結(jié)合第六章建立的Clarke對(duì)偶變分泛函，第七章研究了一階離散凸哈密爾頓系統(tǒng)的次調(diào)和解和解的最小周期問題.其結(jié)果包含兩