幻方方面尚未解決的問題

1、幻方方面尚未解決的問題幻方方面尚未解決的問題阿部（阿部（GakuhoAbe）施學(xué)良施學(xué)良高治源譯高治源譯摘要：本文收集幻方方面摘要：本文收集幻方方面23個(gè)尚未解決的問題或猜想，以及個(gè)尚未解決的問題或猜想，以及與提到的這些問題有關(guān)的一些最新結(jié)果。與提到的這些問題有關(guān)的一些最新結(jié)果。1序言序言本文收集幻方方面尚未解決的本文收集幻方方面尚未解決的23個(gè)問題或猜想，材料來源于個(gè)問題或猜想，材料來源于新近的研究。我們將提出這些問題并給出最新結(jié)果，

2、特別介紹一些新近的研究。我們將提出這些問題并給出最新結(jié)果，特別介紹一些新的有趣的幻方。在幻方方面獲得的許多已知結(jié)果，可從下列日本新的有趣的幻方。在幻方方面獲得的許多已知結(jié)果，可從下列日本刊物中找到刊物中找到：FinatingPuzzlesMonthly(FPM)MeetingofPuzzles(MP)ResearchesinMagicSquares(RMS)和MonthlyAbscus(MA)。幻方的基本概念可以從參考文幻方的基本概念可

3、以從參考文獻(xiàn)[3]第7章和文獻(xiàn)章和文獻(xiàn)[2]、[4]第3章中查找。對幻方的歷史和在日本的章中查找。對幻方的歷史和在日本的當(dāng)前發(fā)展情況感興趣的讀者，可查閱參考文獻(xiàn)當(dāng)前發(fā)展情況感興趣的讀者，可查閱參考文獻(xiàn)[1]。廣義幻方廣義幻方A=(aij)，i≤0j≤n1是由是由n2個(gè)不同的非負(fù)整數(shù)組成的個(gè)不同的非負(fù)整數(shù)組成的且具有每行、每列和各對角線上且具有每行、每列和各對角線上n個(gè)數(shù)之和均相等的特性的方陣。個(gè)數(shù)之和均相等的特性的方陣。方陣的行（列）數(shù)

4、方陣的行（列）數(shù)n稱做方陣的階。如果使用自然數(shù)稱做方陣的階。如果使用自然數(shù)1至n2，則稱，則稱做幻方。由做幻方。由n2個(gè)不同的非負(fù)整數(shù)（或自然數(shù)個(gè)不同的非負(fù)整數(shù)（或自然數(shù)1至n2）組成的方陣，）組成的方陣，如各行和各列諸數(shù)之和均相等，則稱做廣義不完全幻方（或不完全如各行和各列諸數(shù)之和均相等，則稱做廣義不完全幻方（或不完全幻方）幻方）?；梅剑ā；梅剑╝ij）如果對所有）如果對所有0≤ij≤n1aijan1jn1j=n21稱做對稱幻方。稱做

5、對稱幻方。此外，在幻方（此外，在幻方（aij）中，如果對每一個(gè)）中，如果對每一個(gè)i，數(shù)，數(shù)，a1、a2、b1、b2是與互質(zhì)的整數(shù)。使是與互質(zhì)的整數(shù)。使λ=a1b2a2b110454471112469233714341741828152427314249203625182614819213033222473516321329345643393840鑲框幻方鑲框幻方假設(shè)假設(shè)λ亦與亦與n互質(zhì)。對于每一個(gè)整數(shù)互質(zhì)。對于每一個(gè)整數(shù)Z，(1≤Z≤n

6、2)我們首先表示我們首先表示Z為Z1=nrs(0≤rs≤n1).我們規(guī)定方陣我們規(guī)定方陣X=(xij)0≤ij≤n≤n1，而令，而令xij=Zi≡a≡a1rbrb1scsc1(modn)(modn)和j≡a≡a2rbrb2scsc2(mod)(mod)當(dāng)且僅當(dāng)下列四個(gè)條件成立時(shí)，則當(dāng)且僅當(dāng)下列四個(gè)條件成立時(shí)，則X是n階幻方：階幻方：b1c2b2c1≡λ(eλ(e11)21)2(mod(mode1))a2c1a1c2≡λ(eλ(e21)2