微積分ii全書整理

1、第一部分第一部分多變量微分學(xué)多變量微分學(xué)一、多元函數(shù)極限論一、多元函數(shù)極限論1.多元函數(shù)極限的定義：（1）鄰域型定義：設(shè)函數(shù)的定義域為，是的聚點，如果存在常數(shù)，對于)(PfD0PDA任意給定的正數(shù)，總存在正數(shù)，使得當(dāng)點時，都有，??)(0PUDP???????APf)(那么就稱常數(shù)為函數(shù)當(dāng)時的極限，記作A)(Pf0PP?.)(lim0APfPP??（2）距離型定義：設(shè)函數(shù)的定義域為，是的聚點，如果存在常數(shù)，對于)(PfD0PDA任意給定

2、的正數(shù)，總存在正數(shù)，使得當(dāng)點，且時，都有??PD?????)(00PP，那么就稱常數(shù)為函數(shù)當(dāng)時的極限，記作???APf)(A)(Pf0PP?.)(lim0APfPP??注：①這里給出的是數(shù)學(xué)分析中國際通用的定義，已自然排除了鄰域內(nèi)的無定義點；0P②極限存在的充要條件：點在定義域內(nèi)以任何方式或途徑趨近于時，都有極限；P0P)(Pf③除洛必達法則、單調(diào)有界原理、窮舉法之外，可照搬一元函數(shù)求極限的性質(zhì)和方法，常用的有：等價無窮小替換、無窮小有

3、界量=無窮小、夾擠準(zhǔn)則等；④若已知存在，則可以取一條特殊路徑確定出極限值；相反，如果發(fā)現(xiàn)點以)(lim0PfPP?P不同的方式或途徑于時，區(qū)域不同的值，則可斷定不存在.0P)(Pf)(lim0PfPP?⑤二元函數(shù)的極限記為或.Ayxfyxyx??)(lim)()00（Ayxfyyxx???)(lim002.多元函數(shù)的連續(xù)性：設(shè)函數(shù)的定義域為，是的聚點，如果，且有)(PfD0PD0PD?，則稱在處連續(xù)；如果在區(qū)域的每一點處都連續(xù)，)()(

4、lim00PfPfPP??)(Pf0P)(PfE則稱在區(qū)域上連續(xù).)(PfE注：①如果，只稱“不連續(xù)”，而不討論間斷點類型；)()(lim00PfPfPP??②在有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)擁有和一元函數(shù)類似的性質(zhì)，如有界性定理、一致連續(xù)性定理、最大值最小值定理、介值定理等.3.二重極限與累次極限累次極限與二重極限的存在性之間沒有任何必然的聯(lián)系，但若某個累次極限和二重極限都存在，則它們一定相等；反之，若兩個累次極限存在而不相等，則二重極限一定

5、不存在，又若兩個累次極限存在且相等，稱累次極限可以交換求極限的順序.③嚴(yán)格遵守用位置表示偏導(dǎo)數(shù)的規(guī)則，注意避免符號混亂和歧義；④對于求高階偏導(dǎo)數(shù)的問題，不論對誰求導(dǎo)，也不論求了幾階導(dǎo)，求導(dǎo)后的新函數(shù)仍具有與原來函數(shù)相同的復(fù)合結(jié)構(gòu)（注意若偏導(dǎo)連續(xù)則相等，要合并同類項）.（2）全微分形式不變性：僅一階全微分可以使用，高階全微分不再成立.（3）隱函數(shù)存在性及求導(dǎo)法則：①一個方程的情形（以三個變量為例）：設(shè)在點某鄰域內(nèi)偏導(dǎo)連續(xù)，)(zyxF)(

6、000zyx且，，則方程在點內(nèi)某鄰0)(000?zyxF0)(000?zyxFz0)(?zyxF)(000zyx域內(nèi)可唯一確定單值函數(shù)，這個函數(shù)在的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，)(yxzz?)(00yx且，.結(jié)論不難推廣到一般情形.zxFFxz????zyFFyz????②方程組的情形：一般地，設(shè)方程組可確)21(0)(2121miuuuxxxFmni?????定個元函數(shù).當(dāng)雅可比行列式mn)(21niixxxuu??0)()(11112

7、212121112121???????????????????????mmmmmmmuFuFuFuFuFuFuFuFuFuuuFFFJ????????時，可以確定，其中由將分母中的第個元素替換成JJxuji??????J)()(2121mmuuuFFFJ?????i得到.（雅可比行列式在橫向上改變各自變量，縱向上改變各函數(shù)名稱）jx注：①求導(dǎo)前應(yīng)事先判斷，個變元，個方程可確定個元函數(shù)；abb)(ab?②有些比較簡單的問題不必使用此通法，