第6章 變幾何問題延拓和移動邊界

1、第七章第七章變量耦合：反問題、線積分、積分方程變量耦合：反問題、線積分、積分方程和積分微分方程和積分微分方程W.B.J.ZIMMERMepartmentofChemicalProcessEngineeringUniversityofSheffieldNewcastleStreetSheffieldS13JDUnitedKingdomEmail:本章進一步深入探索耦合變量，考慮如何利用耦合變量求解反演方程和各種類型的積分方程。本章選擇了四

2、種重要的應用實例——使用激光探測位置，污染云層的傳播，電容層析成像反演問題，纖維媒介中的非局部傳熱以及顆粒處理中的聚集平衡方程。我們將用到之前在COMSOLMultiphysics中沒有用到的新特征——通過MATLAB與優(yōu)化工具箱耦合，擴展網(wǎng)格，使用瞬態(tài)求解器作為穩(wěn)態(tài)非線性模型的迭代工具，以及在耦合模式下選擇激活非激活多物理場模式的能力。后者對于單一耦合問題非常有用（如第3章中介紹的球形顆粒表面催化劑周圍的水動力學問題）。為了處理本章中

3、的積分方程，設置輔助域上的虛擬因變量。耦合變量在該域進行各種運算，但是因變量本身并不需要。因此，可以更好的調節(jié)對積分方程的有限元近似。1.引言引言我們已經(jīng)對邊界和域積分較為熟悉了——可以在COMSOLMultiphysics的后處理菜單中選擇。邊界積分對計算各種表面量非常有用：例如靜電體表面電荷，流體中的曳力等。域積分常用于平均和在域中定義的較高程度自由度的結合。這些特征是可信的，并給出了通過積分形式表達的有限元方法，伽遼金方法（見第2

4、章），COMSOLMultiphysics包含了有效和精確的積分算法。因此，如果讀者對任意積分階數(shù)的數(shù)值積分或者常微分方程組（ODES）感興趣，可以查閱MATLAB的內置函數(shù)（見第1章），這里不再贅述。在本章中將討論積分方程及其理論的更多復雜應用，均采用COMSOLMultiphysics求解。線積分、積分方程以及積分－微分方程是應用數(shù)學研究的對象，也是COMSOLMultiphysics之所以具備變量耦合能力的基礎。這也是為什么本章要

5、取名為“多物理場耦合問題的伸展”。盡管題目選定了，但這只是說明性的，我們仍然以解決化工過程中的問題為目標，對COMSOLMultiphysics的特征進行深入了解。這里最重要的是使用激光雷達定位以及氣體污染云層的擴散，聚集平衡方程（通常為微分方程的初值問題），電容層析的反演問題，以及纖維媒介中的非局部傳熱問題的計算。擴展多物理場在第一個方法中，我必須承認自己曾對我們要研究的擴展的多物理場問題保持懷疑的態(tài)度。最終，標量耦合變量吸引了我，并

6、提供了撰寫第4章的素材。它也促使我的課題組對微流網(wǎng)絡這樣一個新的領域產(chǎn)生了興趣。目前，COMSOLMultiphysics提供了其他兩種耦合變量的概念－拉伸和投影耦合變量。關于使用他們的例子均與后處理有關，例如，用于在域的截面函數(shù)性的表達求解結果以分析特定特征。盡管如此，在一些較少出現(xiàn)的情況下，耦合變量（拉伸和投影）會應用到模型中與獨立域變量同時求解。多個域、多尺度以及多過程模型對于工程數(shù)學圖像方面的應用。該項工作開創(chuàng)了ECT技術在密相

7、氣動傳輸方面的應用，并展示了電容層析成像技術在在線過程控制方面的發(fā)展?jié)摿?。文獻[13]中對該領域的工作做了較好的回顧。層析成像裝置包括三個主要部件：傳感器陣列（通常采用12電極；66獨立測試），數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)和圖像重構系統(tǒng)。電容測量從電極中獲得，但電極有可能被污染。對于每個電極對，均進行如下的充－放電操作：工作電極在給定電壓下充電（15V），測試電極接地，同時連接電流測試裝置。該測試裝置給出振蕩電流的平均數(shù)值，獲得與未知電容值成一定比例的

8、電壓?；镜碾娙輸?shù)據(jù)采集系統(tǒng)基于電荷傳遞定律。放電電流產(chǎn)生了一個負的輸出電壓。典型的充放電循環(huán)以1MHZ頻率重復，連續(xù)的充電放電電流脈沖在兩個電極之間進行平均，產(chǎn)生兩個直流輸出電壓。在電極布置之前需進行儀器校準，傳感器裝置由較低介電常數(shù)物質填充。該步驟可以提供介電常數(shù)的參考值。然后當管道中充滿較高介電常數(shù)物質時改變電流測試的敏感性。校正步驟對于所研究的任何一類材料均是必要的。通過使用幻燈算法進行圖像重構，可獲得管道中濃度分布的圖像?，F(xiàn)有

9、的ECI算法技術能夠以每秒100幀的速度生成圖像，幾乎可以獲得過程中的實時信息。盡管如此，現(xiàn)有的ECT系統(tǒng)分辨率較低（110管道半徑）。造成該局限的主要原因是每個電極的表面積較大，對于所有的實際目的，充放電時電極之間的電場線是平行的，這樣可使圖像的重構過程變得較為簡單。如果使用更多或者更小的電極，則有希望獲得較高的分辨率，但是會使重構算法變得更為復雜。這種情況下將不得不求解泊松方程以獲得內部介電常數(shù)場。這部分內容里，我們將給出在稀疏系統(tǒng)