馮•卡門用數學武裝工程科學

1、馮?卡門：用數學武裝工程科學卡門：用數學武裝工程科學【按】為了使大家更深入了解哥廷根應用力學學派的學術思想的精髓，這里錄入31年前譯成的馮卡門的文章《用數學武裝工程科學》。大家知道，馮卡門是德國哥廷根應用力學學派的第二代傳人，深諳該學派的真諦：理論與實際相結合、科學與技術相結合、數學科學與工程科學相結合。1943年他創(chuàng)辦美國《應用數學季刊》時，在卷首刊登了他親自撰寫的這篇文章，實際上可視作哥廷根學派在航空航天時代的“新宣言”。1980年

2、，作為哥廷根應用力學學派傳人之一的錢偉長院士在創(chuàng)辦《應用數學和力學》雜志時，把李家春和我召到他在清華照瀾院的家中，給了我們馮卡門文章的原文，讓我們翻譯出來，準備刊登于這個新創(chuàng)刊的雜志的卷首，作為它的辦刊宗旨的一個宣言。我們受命之后，認真地閱讀、翻譯此文，經過三易其稿，方才交卷。這對我們來說，也是一個極好的學習過程，對于我們日后的科研、教學工作產生了重大影響。時過31年之后，重溫馮卡門的真知灼見，仍有一種親切感。細細體會之下，可以認為，馮

3、卡門的這篇傳世之作表述了如下觀點：1）在數學發(fā)展的早期，數學與應用科學之間、應用數學與純粹數學之間沒有嚴格的界限，數學中許多重大發(fā)現得益于力學、物理等學科的迫切需要；一些重要的數學方法是從事應用科學的學者提出來的；2）數學的嚴格化、系統(tǒng)化、公理化是必要的，但更應該注重科技發(fā)展的需要；3）數學家要用數學工具來武裝工程師的頭腦，盡可能縮短兩者之間的差距。也就是說，打算搞應用數學研究的數學家必須對所涉及的物理過程有相當透徹的了解。另一方面，為

4、了適當地利用數學工具，工程師必須深入鉆研數學分析的基本原理，并達到相當高的水平。令人欽佩的是：馮卡門在這篇文章中，通過設計數學家與工程師的一席對話，把上述觀點用淺顯明白的話語表述出來，年青的大學生、工程師和教師們都能看懂，從而理解其中的深刻涵義。我相信，雖然時隔68年，馮卡門的這些觀點依然正確，我們仍可從中汲取豐富的營養(yǎng)。謹以此文與大家共享。用數學武裝工程科學?馮卡門（TheodevonKrmn）人們常說，研究數學的主要目的之一是為物理

5、學家和工程師們提供解決實際問題的工具。從數學的發(fā)展史看來，事實很清楚，許多重大的數學發(fā)現是在了解自然規(guī)律的迫切要求下應運而生的，許多數學方法是由主要對實際應用感興趣的人創(chuàng)立的。然而，每個純粹數學家都會感到，把數學研究局限于考察那些有直接應用的問題，對這位“科學的皇后”來說未免有點不公道，事實上，這位“皇后”的虔誠的膜拜者對于把他們的女主人貶黜為她的比較注重實際的、一時較為顯赫的姐妹的“侍女”，經常感到忿忿不平。這就不難理解為什么數學家和

6、工程師持有爭論不休的分歧意見了。兩種職業(yè)的代表人物不止一次地表示了這種分歧意見。數學家對工程師說：我在堅實的基礎上建造了一座大廈——建立在明確的公設上的定理體系。我深入分析了邏輯思維過程，確定是否存在可以認為是正確的（至少是可能正確的）的論述。我所關心的是，由我自己的思維確切定義的事物之間的函數關系，以及使我得以探索這種函數關系的種種方法，如果你們發(fā)現我所建立的概念、邏輯過程或方法能用于你工程師：你們的一般定理處理的多數是解的存在姓和解

7、法的收斂性，你可能記得亥維賽說過的俏皮話：“按照數學家的意見，這個級數是發(fā)散的；因此，我們或許可以拿它來派點用場?！蹦銈儎趲熧M功、絞盡腦汁來證明解的存在性，而我們從物理上看來，這一點是一目了然的。你們很少花費精力來尋找和討論實際有用的解；即使這樣做了，多數也只是局限于簡單情形，比方說，討論涉及幾何形狀簡單的物體的問題。我來談談所謂特殊函數。我承認數學家研究過很多種特殊函數，把它們的數值列成了表，對它們的級數展開式和定積分表示式已經作了詳

8、盡研究?？上?，這種函數在工程中應用范圍有限。物理學家在探索基本定律時可以選擇幾何形狀簡單的試件作實驗研究；工程師卻不得不直接處理形狀復雜的結構，他不能僅僅因為一種結構幾何形狀簡單，應力分布可用特殊函數算出，就退而采用這種結構。而且，大多數特殊函數僅適用于線性問題。過去，為了簡單起見，物理學家和工程師往往把他們的問題加以線性化。數學家喜歡這種簡化，因為它使優(yōu)美的數學方法大有用武之地。遺憾的是，隨著工程科學向前發(fā)展，人們需要得到較為精確的數

9、據和進一步接近物理真實性，這就迫使我們想方設法去解決許多非線性問題。數學家：嗯，很多現代數學家對于非線性問題極感興趣?？磥恚銈兤惹行枰氖前l(fā)展適當的近似方法。不過，你對我們證明存在性的批評是不正確的，現代數學中許多存在性的證明遠遠超過了直觀的范圍。我也知道，你們工程師非常成功地使用了各種迭代方法，譬如說，要證明一個邊值問題的存在性，我們也經常采用迭代法，換句話說，我們跟你們一樣，確實也構造了一系列近似解，唯一的區(qū)別在于你們只是假定迭代

10、過程可以產生唯一的解，而我們證明了這一點。還有，在我看來，你們用于解彈性力學和結構力學問題的所謂“能量法”，與變分學中的直接方法密切相關，我指的是，不解歐拉－拉格朗日微分方程，而直接構造有給定邊值的極小化函數的方法。我覺得，在純粹數學分析與應用數學之間畢竟存在許多共同之處。工程師：我并不否認這一點，事實上，我一向認為，分析是應用數學的支柱。不過，要是你真正著手把分析應用到實際情形中去，你就會看到，從掌握一種近似方法的一般概念到成功地應用

11、這種方法，還有很多工作要做。比方說，存在著可資利用的時間和人力的問題。做某些類型工作時，我們可以用精巧的機械裝置或電動裝置，像微分分析儀或電動計算機之類。然而，在大多數場合下，我們必須不借助于這種手段進行計算，這時，光知道近似過程的收斂性就不夠了，我們還得確定用哪一種方法能在最短的時間內得到具有給定近似程度的解，必須對逐次近似所改進的準確度做出恰當的估計，所有這些實際問題要求我們進行艱苦的實際研究。我認為，我們確實需要數學家的幫助，來改

12、進我們的直觀方法，或許不妨說，對我們的直觀方法加以評論和系統(tǒng)化。事實上，要把數學成功地應用到于工程問題，需要數學家和工程師的密切合作。在表面上截然不同的領域里找出作為它們基礎的共同的數學關系，這決不是一件輕而易舉的事。打算搞應用數學研究的數學家必須對所涉及的物理過程有相當透徹的了解。另一方面，為了適當地利用數學工具，工程師必須深入鉆研數學分析的基本原理，并達到相當高的水平。把一堆機床雜亂無章地拼湊起來，成不了一個高效率的金工車間。我們知