期權(quán)定價中的蒙特卡洛模擬方法

1、期權(quán)定價中的蒙特卡洛模定價中的蒙特卡洛模擬方法方法期權(quán)作為最基礎(chǔ)的金融衍生產(chǎn)品之一，為其定價一直期權(quán)作為最基礎(chǔ)的金融衍生產(chǎn)品之一，為其定價一直是金融工程的重要研究領(lǐng)域，主要使用的定價方法有偏微是金融工程的重要研究領(lǐng)域，主要使用的定價方法有偏微分方程法、鞅方法和數(shù)值方法。而數(shù)值方法又包括了二叉分方程法、鞅方法和數(shù)值方法。而數(shù)值方法又包括了二叉樹方法、有限差分法和蒙特卡洛模擬方法。樹方法、有限差分法和蒙特卡洛模擬方法。蒙特卡洛方法的理論基礎(chǔ)

2、是概率論與數(shù)理統(tǒng)計，其實蒙特卡洛方法的理論基礎(chǔ)是概率論與數(shù)理統(tǒng)計，其實質(zhì)是通過模擬標(biāo)的資產(chǎn)價格路徑預(yù)測期權(quán)的平均回報并得質(zhì)是通過模擬標(biāo)的資產(chǎn)價格路徑預(yù)測期權(quán)的平均回報并得到期權(quán)價格估計值。蒙特卡洛方法的最大優(yōu)勢是誤差收斂到期權(quán)價格估計值。蒙特卡洛方法的最大優(yōu)勢是誤差收斂率不依賴于問題的維數(shù)，從而非常適宜為高維期權(quán)定價。率不依賴于問題的維數(shù)，從而非常適宜為高維期權(quán)定價。1.預(yù)備預(yù)備知識◆兩個重要的定理：兩個重要的定理：柯爾莫哥洛夫柯爾莫哥

3、洛夫(Kolmogov)強(qiáng)大強(qiáng)大數(shù)定律和萊維一林德貝格數(shù)定律和萊維一林德貝格(LevyLindeberg)中心極限定理。中心極限定理。大數(shù)定律大數(shù)定律是概率論中用以說明大量隨機(jī)現(xiàn)象平均結(jié)果是概率論中用以說明大量隨機(jī)現(xiàn)象平均結(jié)果穩(wěn)定性的一系列極限定律。在蒙特卡洛方法中用到的是隨穩(wěn)定性的一系列極限定律。在蒙特卡洛方法中用到的是隨機(jī)變量序列同分布的機(jī)變量序列同分布的Kolmogov強(qiáng)大數(shù)定律：強(qiáng)大數(shù)定律：設(shè)為獨立同分布的隨機(jī)變量序列，若為獨立

4、同分布的隨機(jī)變量序列，若12???則有則有[]12kEk???????11(lim)1nknkpn????????顯然，若顯然，若是由同一總體中得到的抽樣，那么由是由同一總體中得到的抽樣，那么由12n????此大數(shù)定律可知樣本均值此大數(shù)定律可知樣本均值當(dāng)n很大時以概率很大時以概率1收斂于收斂于11nkkn???總體均值總體均值。?微分形式，先介紹隨機(jī)微積分中的最重要的伊藤公式。微分形式，先介紹隨機(jī)微積分中的最重要的伊藤公式。伊藤伊藤It

5、o公式：公式：設(shè)，是二元可微函數(shù)，若隨機(jī)是二元可微函數(shù)，若隨機(jī)()VVSt?V過程過程滿足如下的隨機(jī)微分方程滿足如下的隨機(jī)微分方程S()()dSStdtStdWS????則有則有22221(()())()2VVVVdVStSStSdtStSdWtSSS???????????????根據(jù)伊藤公式，當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)的運動規(guī)律服從假設(shè)條件根據(jù)伊藤公式，當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)的運動規(guī)律服從假設(shè)條件中的幾何布朗運動時，期權(quán)的價值中的幾何布朗運動時，期權(quán)的價值的微分

6、形式為的微分形式為()VVSt?22221()2VVVVdVSSdtSdWtSSS???????????????現(xiàn)在構(gòu)造無風(fēng)險資產(chǎn)組合現(xiàn)在構(gòu)造無風(fēng)險資產(chǎn)組合，即有，即有，VVSS?????drdt???經(jīng)整理后得到經(jīng)整理后得到2222102VVVSrSrVtSS???????????這個表達(dá)式就是表示期權(quán)價格變化的這個表達(dá)式就是表示期權(quán)價格變化的BlackScholes偏微分方程。它同時適合歐式看漲期權(quán)、歐式看跌期權(quán)、美微分方程。它同時

7、適合歐式看漲期權(quán)、歐式看跌期權(quán)、美式看漲期權(quán)和美式看跌期權(quán)，只是它們的終值條件和邊界式看漲期權(quán)和美式看跌期權(quán)，只是它們的終值條件和邊界條件不同，其價值也不相同。條件不同，其價值也不相同。歐式看漲期權(quán)的終邊值條件分別為歐式看漲期權(quán)的終邊值條件分別為，??()max0TVSTSK??00()SVSTSS??????????????????????通過求解帶有終邊值條件的偏微分方程，得出歐式看漲期通過求解帶有終邊值條件的偏微分方程，得出歐式看