空間曲線地切線與-空間曲面地切平面

1、#第六節(jié)第六節(jié)空間曲線的切線與空間曲面的切平面空間曲線的切線與空間曲面的切平面一、空間曲線的切線與法平面一、空間曲線的切線與法平面設(shè)空間的曲線C由參數(shù)方程的形式給出：，????????)()()(tzztyytxx)(???t設(shè)，、為曲線上兩點(diǎn)，)(10???tt)()()((000tztytxA))()()((111tztytxB的連線稱為曲線C的割線，當(dāng)時(shí)，若趨于一條直線，則此直線稱為BA，ABAB?AB曲線C在點(diǎn)的切線A如果對(duì)于的

2、導(dǎo)數(shù)都連續(xù)且不全為零（即空間的曲線C)()()(tzztyytxx???，，t為光滑曲線），則曲線在點(diǎn)切線是存在的因?yàn)楦罹€的方程為A)()()()()()()()()(010010010tztztzztytytyytxtxtxx????????也可以寫為001000100010)()()()()()()()()(tttztztzztttytytyytttxtxtxx???????????當(dāng)時(shí)，，割線的方向向量的極限為，此即為切線AB?0

3、tt???)()()(000tztytx???的方向向量，所以切線方程為)()()()()()(000000tztzztytyytxtxx????????過點(diǎn)且與切線垂直的平面稱為空間的曲線C在點(diǎn))()()((000tztytxA的法平面，法平面方程為)()()((000tztytxA0))(())(())((000000??????zztzyytyxxtx如果空間的曲線C由方程為)()(xzzxyy??且存在，則曲線在點(diǎn)的切線是)()

4、(00xzxy)()((000xzxyxA)()()()(100000xzxzzxyxyyxx???????法平面方程為#解當(dāng)時(shí)，曲線過點(diǎn)，曲線在此點(diǎn)的切線方向向量為??????ba0?，????babaa0|cossin????????所以曲線的切線方程為btzzatyytxx)()(0)(000??????即bbzayax??????0二、空間曲面的切平面與法線二、空間曲面的切平面與法線設(shè)曲面的一般方程為S0)(?zyxF取為曲面上

5、一點(diǎn)，設(shè)在的某鄰域內(nèi)具有連續(xù))(0000zyxPS)(zyxF)(0000zyxP偏導(dǎo)數(shù)，且。設(shè)為曲面上過0)()()(000200020002???zyxFzyxFzyxFzyxcS的任意一條光滑曲線：)(0000zyxP????????)()()(:tzztyytxxc設(shè)，我們有)()()(000000tzztyytxx???0))()()((?tztytxF上式對(duì)在求導(dǎo)得到t0tt?0)()()()()()(00000000000

6、0???tzzyxFtyzyxFtxzyxFzyx因此，曲面上過的任意一條光滑曲線在點(diǎn)的切線都S)(0000zyxPc)(0000zyxP和向量)()()(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx??垂直，于是這些切線都在一個(gè)平面上，記為，平面就稱為曲面在??S的切平面，向量稱為法向量。在的切平面方程是)(0000zyxPn?S)(0000zyxP0))(())(())((000000000000??????zzzyxFyyz