曲面的切平面和法線

1、,設曲面方程為,過曲面上點 任作一條在曲面上的曲線 ，設其方程為,顯然有,在上式兩端對 求導，得,,從而曲面在 點的切平面方程為,由于 的任意性，可見曲面上過 的任一條曲線 在該點的切線都與 正交，因此這些切線應在同一平面上，這個平面稱為曲面在 點的切平面，而 就是切平面的法向量。,在 點（設

2、 點對應于參數 ）有,過 點與切平面垂直的直線，稱為曲面在 點的法線，其方程為,該法線的一組方向數為：,綜上所述若曲面方程為,則該曲面在 點的切平面方程為,過 點的法線方程為,設 分別為曲面在 點的法線與 軸正向之間的夾角，那末在 點的法線方向余弦為

3、,若曲面方程為,容易把它化成剛才討論過的情形：,于是曲面在 （這里 ）點的切平面方程為,法線方程為,若曲面方程為參數形式：,如果由方程組 可以確定兩個函數：,于是可以將 看成 的函數，從而可以將問題化為剛才已經討論過的情形。,代入方程

4、 ，得,因此需分別計算 對 的偏導數。,將 分別對 求導，注意到 為 的函數按隱函數求導法則有,解方程組，得,法線方程,于是曲面在 點的切平面方程為,例 1 求球面 在點

5、 的切平面及法線方程.,解,設,則,所以在點 處 球面的切平面方程為,法線方程,曲面的夾角,兩個曲面在交線上某點處的兩個法線的夾角稱為這兩個曲面在該點的夾角。,如果兩個曲面在該點的夾角等于 90 度，則稱這兩個曲面在該點正交。若兩曲面在交線的每一點都正交，則稱這兩曲面為正交曲面。,例 2 證明對任意常數 ，球面

6、 與錐面 是正交的。,即,證明,球面 的法線方向數為,錐面 的法線方向數為,在兩曲面交線上的任一點