第20講 曲線軌跡的探求

1、數(shù)學(xué)高考綜合能力題選講數(shù)學(xué)高考綜合能力題選講20曲線軌跡的探求100080北京中國人民大學(xué)附中梁麗平題型預(yù)測題型預(yù)測解析幾何主要研究兩大類問題：一是根據(jù)題設(shè)條件，求出表示平面曲線的方程；二是通過方程，研究平面曲線的性質(zhì)從這個角度來說，軌跡問題成為解析幾何高考命題的重點和熱點也就不足為奇了探求動點的軌跡，主要有以下方法：（1）定義法：若能結(jié)合題目條件分析出軌跡是什么曲線，則可利用曲線的定義得到結(jié)論（2）直接法：直接建立動點所滿足的關(guān)系式，

2、然后通過化簡方程得出結(jié)論（3）間接法：又分為相關(guān)點法、參數(shù)法、交軌法等解答軌跡問題時，若能充分挖掘幾何關(guān)系，則往往可以簡化解題過程范例選講范例選講例1已知雙曲線的中心在原點，以坐標(biāo)軸為對稱軸，離心率為，且雙52曲線上動點P到點A（2，0）的最近距離為1（Ⅰ）證明：滿足條件的雙曲線的焦點不可能在y軸上；（Ⅱ）求此雙曲線的方程；（Ⅲ）設(shè)此雙曲線的左右焦點分別是，Q是雙曲線右支上的動點，過12FF作的平分線的垂線，求垂足M的軌跡1F12FQF

3、?講解講解：（Ⅰ）可考慮反證法證明：設(shè)雙曲線的實半軸長為，虛半軸長為，半焦距為，則由abcca?，得，所以，5222254aba??12ba?假設(shè)存在滿足條件且焦點在y軸上的雙曲線，則其漸近線方程為2yx??在此條件之下，一方面，我們當(dāng)然可以設(shè)雙曲線方程為：∴1222QFQFQTQFa????∴，22FTa?∴，OMa?即點M在以O(shè)為圓心，為半徑的圓上a∵當(dāng)點Q沿雙曲線右支運動到無窮遠處時，QM趨近于雙曲線的漸近線，∴點M的軌跡是圓弧C

4、BD，除去點C點D.方程為：2265935xyx?????????????點評點評：挖掘圖形的幾何性質(zhì)，運用定義求軌跡是求動點軌跡的常用方法例2如圖，過點A（－1，0），斜率為k的直線l與拋物線C：y2=4x交于P，Q兩點.（I）若曲線C的焦點F與P，Q，R三點按如圖順序構(gòu)成平行四邊形PFQR，求點R的軌跡方程；（II）設(shè)P，Q兩點只在第一象限運動，（0，8）點與線段PQ中點的連線交x軸于點N，當(dāng)點N在A點右側(cè)時，求k的取值范圍.講解講

5、解：（I）要求點R的軌跡方程，注意到點R的運動是由直線l的運動所引起的，因此可以探求點R的橫、縱坐標(biāo)與直線l的斜率k的關(guān)系然而，點R與直線l并無直接聯(lián)系與l有直接聯(lián)系的是點P、Q，通過平行四邊形將P、Q、R這三點聯(lián)系起來就成為解題的關(guān)鍵由已知，代入拋物線C：y2=4x的方程，消x得：:(1)lykx??204kyyk???∵、QClP直線交拋物線于兩點∴20410kk??????????解得1001kk?????或設(shè)，M是PQ的中點，則