同濟第六版高數答案高等數學課后習題解答

1、習題9?11?設有一平面薄板(不計其厚度)?占有xOy面上的閉區(qū)域D?薄板上分布有密度為???(x?y)的電荷?且?(x?y)在D上連續(xù)?試用二重積分表達該板上全部電荷Q?解板上的全部電荷應等于電荷的面密度?(x?y)在該板所占閉區(qū)域D上的二重積分???DdyxQ??)(?2?設????13221)(DdyxI??其中D1?(x?y)|?1?x?1??2?y?2?又????23222)(DdyxI??其中D2?(x?y)|0?x?1?0

2、?y?2?試利用二重積分的幾何意義說明I1與I2的關系?解I1表示由曲面z?(x2?y2)3與平面x??1?y??2以及z?0圍成的立體V的體積?I2表示由曲面z?(x2?y2)3與平面x?0?x?1?y?0?y?2以及z?0圍成的立體V1的體積?顯然立體V關于yOz面、xOz面對稱?因此V1是V位于第一卦限中的部分?故V?4V1?即I1?4I2?3?利用二重積分的定義證明?(1)???Dd??(其中?為D的面積)?證明由二重積分的定義

3、可知?4?根據二重積分的性質?比較下列積分大小?(1)???Ddyx?2)(與???Ddyx?3)(?其中積分區(qū)域D是由x軸?y軸與直線x?y?1所圍成?解區(qū)域D為?D?(x?y)|0?x?0?y?x?y?1?因此當(x?y)?D時?有(x?y)3?(x?y)2?從而???Ddyx?3)(????Ddyx?2)(?(2)???Ddyx?2)(與???Ddyx?3)(?其中積分區(qū)域D是由圓周(x?2)2?(y?1)2?2所圍成?解區(qū)域D如

4、圖所示?由于D位于直線x?y?1的上方?所以當(x?y)?D時?x?y?1?從而(x?y)3?(x?y)2?因而???????DDdyxdyx??32)()(?(3)???Ddyx?)ln(與???Ddyx?3)(?其中D是三角形閉區(qū)域?三角頂點分別為(1?0)?(1?1)?(2?0)?解區(qū)域D如圖所示?顯然當(x?y)?D時?1?x?y?2?從而0?ln(x?y)?1?故有[ln(x?y)]2?ln(x?y)?因而???????DDd