實(shí)變函數(shù)積分理論部分復(fù)習(xí)題(附答案版)

1、2011級實(shí)變函數(shù)積分理論復(fù)習(xí)題級實(shí)變函數(shù)積分理論復(fù)習(xí)題一、判斷題（判斷正誤，正確的請簡要說明理由，錯誤的請舉出反例）1、設(shè)是上的一列非負(fù)可測函數(shù)，則是上的??()nfx[01]1()()nnfxfx????[01]Lebesgue可積函數(shù)。（）2、設(shè)是上的一列非負(fù)可測函數(shù)，則是上的??()nfx[01]1()()nnfxfx????[01]Lebesgue可測函數(shù)。（√）3、設(shè)是上的一列非負(fù)可測函數(shù)，則??()nfx[01][01][

2、01]lim()dlim()dnnnnfxxfxx???????。（）4、設(shè)是上的一列非負(fù)可測函數(shù)，則存在的一個子列，??()nfx[01]??()nfx??()knfx使得，。[01][01]lim()dlim()dkknnkkfxxfxx???????（，比如為單調(diào)遞增時，由Levi定理，這樣的子列一定不存在。）??()nfx5、設(shè)是上的一列非負(fù)可測函數(shù)，則存在的一個子列，??()nfx[01]??()nfx??()knfx使得，。

3、[01][01]lim()dlim()dkknnkkfxxfxx???????（，比如課本上法都引理取嚴(yán)格不等號的例子。）6、設(shè)是上的一列非負(fù)可測函數(shù)，則??()nfx[01][01][01]lim()dlim()dnnnnfxxfxx???????。（√）7、設(shè)是上的一列非負(fù)可測函數(shù)，則??()nfx[01][01][01]lim()dlim()dnnnnfxxfxx???????。。0[0][0]0()dsind()sin(cos)

4、2fxxxxRxdxx????????????2、設(shè)為中有理數(shù)全體，，求Q[0)?23sin[0)()xxxxexQfxexQ???????????[0.)()dfxx???。解：因?yàn)闉榭蓴?shù)集，所以，從而，于，而Q0mQ?2()xfxxe??..ae[0)??2xxe?在上非負(fù)連續(xù)，且，[0)??2200011()()d()d22xxRfxxRxexe??????????????所以由積分的惟一性和L積分與R積分的關(guān)系得。2220[0.

5、)[0.)011()dd()d22xxxfxxxexRxexe???????????????????3、設(shè)為上的Cant三分集，，求P[01]2[0)()sin()xxxexPfxexP???????????。[0.)()dfxx???解：因?yàn)椋?，于，而在上非?fù)連0mP?2()xfxxe??..ae[0)??2xxe?[0)??續(xù)，且，2200011()()d()d22xxRfxxRxexe??????????????所以由積分的惟

6、一性和L積分與R積分的關(guān)系得。2220[0.)[0.)011()dd()d22xxxfxxxexRxexe???????????????????4、計(jì)算。20lim(1)dnnxnxexn?????解：令，易見在非負(fù)可測，且單調(diào)上2[0]()(1)()nxnnxfxexn????()nfx[0)??()nfx升，故由單調(diào)收斂定理lim()xnnfxe????。200lim(1)dd1nxxnxexexn?????????????5、積分