實變函數(shù)與泛函分析課后習題答案book版

1、第一章可測函數(shù)1.1第四章可測函數(shù)練習題習題1.1.1證明：f(x)在E上為可測函數(shù)的充要條件是對任一有理數(shù)r集E[fr]可測.如果集E[f=r]可測，問f(x)是否可測？證明分析：根據(jù)可測函數(shù)的定義?t∈RE[ft]為可測集，則函數(shù)f為可測函數(shù).由題意知道，對于有理數(shù)r集E[fr]可測那么問題就是如何將已知的有理數(shù)轉(zhuǎn)化到未知的實數(shù)上，那么就可以采用有理數(shù)在實數(shù)中稠密的特征，任何一個實數(shù)都可以用有理數(shù)進行逼近的辦法然后利用可測集的運算性

2、質(zhì)的到想要的結(jié)果.證明中的等式可以參考課本P80的引理中的集合論等式的證明E[fg]=∞∪n=1(E[frn])∩E[gr]可測，則對任意實數(shù)α記rn為大于α的一切有理數(shù)，則有E[fα]=∞∪n=1E[frn]由E[frn]可測得E[fα]是可測的，所以f(x)是E上的可測函數(shù).若對于任意的有理數(shù)rE[f=r]可測，則f(x)不一定是可測的.例如，E=(?∞∞)z為E中的不可測集.對于任意x∈zf(x)=√3x?zf(x)=√2則對任意

3、有理數(shù)rE[f=r]=?是可測的.而E[f√2]=z為不可測的.因此f是不可測的.?習題1.1.2設(shè)fn為E上的可測函數(shù)列，證明它的收斂點集和發(fā)散點集都是可測的.證明分析：寫出收斂點集和發(fā)散點集的組成結(jié)構(gòu)，結(jié)果一目了然.證明：由P82定理6limn→∞fn(x)和limn→∞fn(x)都是E上的可測函數(shù)，顯然，E[limn→∞fn(x)=∞]是收斂到∞的點組成的集，而E[limn→∞fn(x)=?∞]是收斂到?∞的點組成的集合.E[li

4、mn→∞fnlimn→∞fn]是fn的不收斂點組成的集.因此fn(x)在E上的收斂的點組成的集為E?E[limn→∞fn(x)=∞]?E[limn→∞fn(x)=?∞]?E[limn→∞fnlimn→∞fn]因而，由可測集的運算規(guī)律知，收斂點集為可測集.同樣，對于發(fā)散點組成的集合為E[limn→∞fn(x)=∞]∪E[limn→∞fn(x)=?∞]∪E[limn→∞fnlimn→∞fn]也是可測集.?1第一章可測函數(shù)3(ii)在Eδ上一

5、致收斂于f(x).(1.6)另外，在Eδ上使用魯津定理，對?=mE40由魯津定理，存在閉集F?Eδ使得(i)m(Fδ?F)mE2(1.7)(ii)f(x)在F連續(xù)，于是?M0s.t.|f(x)|≤M(x∈F).(1.8)由于f(x)在F上一致收斂到f(x)故fn在F上也一致收斂于f(F?Eδ)所以存在自然數(shù)N當nN時，有|fn(x)?f(x)|≤1(x∈F).(1.9)從而有|fn(x)|≤|f(x)|1(nNx∈F).(1.10)即?

6、x∈F當nN時，|fn(x)|≤M1.在考慮fn(x)中的前N個f1(x)f2(x)fN(x).因為fi(x)(i=1N)幾乎處處有限，故mE[|fi|=∞]=0(i=1N).而E[|fi|=∞]=∞∪k=1E[|fi|k](1.11)且E[|fi|k]?E[|fi|k1].(i=1N)(1.12)從而，limk→∞mE[|fi|k]=mE[|fi|=∞]=0.(1.13)故對于每一個i(i=1N)?ki使得mE[|fi|k]k0]k0