高等數(shù)學(xué)講義---無(wú)窮級(jí)數(shù)(數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)三)

1、129第八章無(wú)窮級(jí)數(shù)（數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)三）引言：所謂無(wú)窮級(jí)數(shù)就是無(wú)窮多項(xiàng)相加，它與有限項(xiàng)相加有本質(zhì)不同，歷史上曾經(jīng)對(duì)一個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)問(wèn)題引起爭(zhēng)論。例如：??????????1)1(1111n歷史上曾有三種不同看法，得出三種不同的“和”第一種0)11()11()11(??????????第二種1)11()11()11(1??????????第三種設(shè)Sn???????????1)1(1111則??S???????111111SS??12?S21?S

2、這種爭(zhēng)論說(shuō)明對(duì)無(wú)窮多項(xiàng)相加，缺乏一種正確的認(rèn)識(shí)。1)什么是無(wú)窮多項(xiàng)相加？如何考慮？2)無(wú)窮多項(xiàng)相加，是否一定有“和”？3)無(wú)窮多項(xiàng)相加，什么情形有結(jié)合律，什么情形有交換律等性質(zhì)。因此對(duì)無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本概念和性質(zhì)需要作詳細(xì)的討論。8.1常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（1）內(nèi)容要點(diǎn)內(nèi)容要點(diǎn)一、基本概念與性質(zhì)1.基本概念無(wú)窮多個(gè)數(shù)依次相加所得到的表達(dá)式稱??321nuuuu???????????nnnuuuuu3211為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（簡(jiǎn)稱級(jí)數(shù)）。（）稱為級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)的

3、部分和，????nkknuS1123nuuuu??????321?n稱為部分和數(shù)列。??)321(??nSn131（2）p一級(jí)數(shù)???11npn當(dāng)p1時(shí)，收斂，當(dāng)p1時(shí)發(fā)散???11npn????11npn（注：p1時(shí)，的和一般不作要求，但后面用特殊的方法可知）???11npn???1n6122??n二、正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別法則稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，這時(shí)是單調(diào)???3210??nun若???1nnu????nnnSnSS所以?3211???加數(shù)

4、列，它是否收斂就只取決于是否有上界，因此有上界，這是正項(xiàng)級(jí)nS???1nnnSu?收斂數(shù)比較判別法的基礎(chǔ)，從而也是正項(xiàng)級(jí)數(shù)其它判別法的基礎(chǔ)。1.比較判別法收斂，則收斂；如果發(fā)如果皆成立時(shí)當(dāng)設(shè)，u，cvNncnn00???????1nnv???1nnu???1nnu散，則發(fā)散。???1nnv2.比較判別法的極限形式設(shè)若)321(00????nvunn??nlimAvunn?1)當(dāng)0A時(shí)，與同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散。????1nnu???1nnv