理論力學(xué)-welcometospacephysicsdivisionof

1、理論力學(xué),2015.9修改稿,教材課本及講授內(nèi)容,力學(xué)與理論力學(xué)（下冊）中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)國家基礎(chǔ)科學(xué)人才培養(yǎng)基地物理學(xué)叢書作者：秦敢，向守平科學(xué)出版社，2008其中，上冊以力學(xué)為主，下冊以分析力學(xué)為主，將力學(xué)和理論力學(xué)的教學(xué)內(nèi)容統(tǒng)一合理地安排。為銜接課程內(nèi)容，首先回顧一下已學(xué)過的力學(xué)內(nèi)容。,參考書,金尚年等，理論力學(xué)，高等教育出版社周衍柏，理論力學(xué)教程，高等教育出版社陳世民，理論力學(xué)簡明教程，高等教育出版社強(qiáng)元棨(qǐ)

2、，經(jīng)典力學(xué)(上下)，科學(xué)出版社沈惠川，經(jīng)典力學(xué)，科大出版社李書民，經(jīng)典力學(xué)概論，科大出版社,力學(xué)中已學(xué)的內(nèi)容概要,質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)（觀測并記錄質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)）質(zhì)點(diǎn)的位置、速度、加速度，軌跡質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)（找出運(yùn)動(dòng)的規(guī)律和原因）質(zhì)點(diǎn)的受力，由初始位置和速度確定之后的運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)系力學(xué)（應(yīng)用于多個(gè)質(zhì)點(diǎn)的體系）質(zhì)點(diǎn)系，多個(gè)質(zhì)點(diǎn)體系的守恒量非慣性參考系，平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)（牛頓力學(xué)不適用的參考系中的處理）剛體的平面運(yùn)動(dòng)（剛體是特殊的質(zhì)點(diǎn)組）角速度，角

3、動(dòng)量，轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能一些應(yīng)用（有心力場，碰撞，振動(dòng)等）,質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)質(zhì)點(diǎn)的模型 質(zhì)點(diǎn)是具有一定質(zhì)量的但在空間上只是一個(gè)點(diǎn)的理想模型。運(yùn)用質(zhì)點(diǎn)模型來研究現(xiàn)實(shí)中的物體運(yùn)動(dòng)，在很多情況下是有效的，也是十分便利的。質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的描述：位移和路程：質(zhì)點(diǎn)的位移是質(zhì)點(diǎn)的起點(diǎn)連接到終點(diǎn)的矢量，而路程是質(zhì)點(diǎn)所經(jīng)歷的軌跡長度。路程是曲線的總長，位移的大小是直線距離，總是不大于路程的。參考系：質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，與其他物體之間的相對(duì)位置關(guān)系會(huì)產(chǎn)生變化，建立參考系

4、以更好描述質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。位置矢量：常用參考系原點(diǎn)到質(zhì)點(diǎn)位置的位移矢量來描述質(zhì)點(diǎn)的位置。,力學(xué)基礎(chǔ)內(nèi)容（回顧）,質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的描述：位置矢量是時(shí)間的函數(shù)，通過求導(dǎo)可得速度、加速度隨時(shí)間的變化已知加速度通過積分速度，對(duì)速度積分求質(zhì)點(diǎn)位置運(yùn)動(dòng)軌跡（消去時(shí)間 t，得空間曲線） 若已知位置函數(shù)關(guān)系 r(t) ，可以通過消去時(shí)間 t 得到質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡曲線。,力學(xué)基礎(chǔ)內(nèi)容（回顧）,質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)坐標(biāo)系：用數(shù)學(xué)上的坐標(biāo)函數(shù)描

5、述空間點(diǎn)的位置直角坐標(biāo)系（x,y,z）柱坐標(biāo)系 (r,j,z) （極坐標(biāo)系）(r,q)球坐標(biāo)系 (r, q, j)其他正交曲線坐標(biāo)系自然坐標(biāo)系,力學(xué)基礎(chǔ)內(nèi)容（回顧）,質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)牛頓三定律從分析受力，來計(jì)算加速度、速度、位置隨時(shí)間的變化（已知初始位置，初始速度）牛頓三定律的深入探討，哪個(gè)更基本？慣性系。力的定義。慣性質(zhì)量與引力質(zhì)量。對(duì)于粒子與場的作用，作用力與反作用力的關(guān)系。相對(duì)論情況下，第二定律成立的形式。

6、,力學(xué)基礎(chǔ)內(nèi)容（重溫）,質(zhì)點(diǎn)系力學(xué)內(nèi)力和外力動(dòng)量和角動(dòng)量動(dòng)能和勢能質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心，質(zhì)心系動(dòng)量守恒和角動(dòng)量守恒及其成立的條件機(jī)械能守恒及其成立的條件非慣性參考系，非慣性力平動(dòng)參考系轉(zhuǎn)動(dòng)參考系，科里奧利力，離心力,力學(xué)基礎(chǔ)內(nèi)容（重溫）,剛體力學(xué)剛體模型角速度和角加速度轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能力矩剛體的平面運(yùn)動(dòng)對(duì)稱軸剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng),力學(xué)基礎(chǔ)內(nèi)容（重溫）,其他一些應(yīng)用課題,有心力場（萬有引力和行星運(yùn)動(dòng)，帶電粒

7、子散射）碰撞（兩體碰撞，散射截面）振動(dòng)（阻尼振動(dòng)，受迫振動(dòng)，多維小振動(dòng)）帶電粒子的運(yùn)動(dòng)狹義相對(duì)論非線性力學(xué)流體力學(xué)連續(xù)介質(zhì)體系的力學(xué),分析力學(xué)主要內(nèi)容,約束與虛功原理拉格朗日力學(xué)達(dá)朗貝爾原理，拉格朗日方程，泛函變分和哈密頓原理，運(yùn)動(dòng)積分、對(duì)稱性和守恒定律哈密頓力學(xué)正則方程，正則變換，泊松括號(hào)，哈密頓-雅克比方程剛體的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué),分析力學(xué)的基礎(chǔ),以牛頓三定律的經(jīng)典力學(xué)為理論基礎(chǔ)應(yīng)用數(shù)學(xué)方法建立完整的理論體系

8、得到一些原理性的結(jié)果有些結(jié)果推廣到非經(jīng)典的領(lǐng)域（如相對(duì)論和量子力學(xué)）更加自然,分析力學(xué)與牛頓力學(xué)特點(diǎn)比較,第1次課,習(xí)題 1,1.1 考慮初始時(shí)以20m/s速度并與水平面成30°拋出的物體的運(yùn)動(dòng)過程。分別用牛頓力學(xué)方法、機(jī)械能守恒方法計(jì)算物體在最高點(diǎn)時(shí)的速度。取重力加速度為10m/s2。1.2 質(zhì)量m的¼圓弧面形的滑塊靜止于光滑水平面上，一個(gè)質(zhì)量為m/3的小球以v0速度沖上滑塊然后又滑下，求兩者的末速度。思考若用

9、矢量力學(xué)求解為何困難。滑塊的高和長均為 v02/g 。,直角坐標(biāo)系,坐標(biāo)：(x,y,z)基矢量 e ：用于表示矢量的方向，其大小為1，即單位長度。直角坐標(biāo)系的基矢量是恒定的。,柱坐標(biāo)系,坐標(biāo)：,柱坐標(biāo)系各項(xiàng)加速度在不同情況下顯現(xiàn),除了z向加速度 ，徑向加速度 j 保持不變，沿R方向加速向心加速度R， 保持不變，切向速度的方向改變角加速度z，R保持不變，角速度變化，同時(shí)切向速率變化科里奧利加速度

10、 保持不變。當(dāng) 不變，R變化使得切向速度改變；當(dāng) 不變，j 變化使得徑向速度改變。,,球坐標(biāo)系,坐標(biāo),球坐標(biāo)系,加速度的表達(dá)式復(fù)雜，以至于實(shí)用性差。在地球上，er 是上方，eq 是南方，ej 是東方。,一般的正交曲線坐標(biāo)系,坐標(biāo)：,稱為拉梅系數(shù)。曲線長度滿足,一般的正交曲線坐標(biāo)系的面元、體元,自然坐標(biāo)系,自然坐標(biāo)系不是數(shù)學(xué)上嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖鴺?biāo)系，但符合人們的自身體驗(yàn)，因而應(yīng)用于日常生活中十分容易理解。將運(yùn)動(dòng)軌跡理解為質(zhì)點(diǎn)的

11、運(yùn)動(dòng)軌道，用軌道上的路程確定位置。力(矢量)分為是改變速率的部分(沿速度方向)和改變方向的部分(垂直于速度方向)。曲率半徑 r 的倒數(shù)稱為曲率。,第2次課,2.1 推導(dǎo)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在球坐標(biāo)系中的加速度表達(dá)式。2.2 求習(xí)題1.1中的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡（拋物線）在射出點(diǎn)和最高點(diǎn)處的曲率半徑。如果單單從拋物線的形狀是可以求出這兩點(diǎn)的曲率半徑的，但利用自然坐標(biāo)系中的動(dòng)力學(xué)公式，計(jì)算似乎更簡單些。,習(xí)題 2,約束與自由度,一般情況下，n個(gè)質(zhì)點(diǎn)的系

12、統(tǒng)，有k個(gè)約束：在3維空間，坐標(biāo)3n個(gè)，有k個(gè)約束，則自由度為 s=3n-k，從而原則上可以只用s個(gè)獨(dú)立變量來描述系統(tǒng)（其余坐標(biāo)可由約束方程限定）。這些獨(dú)立變量描述系統(tǒng)，在分析力學(xué)中對(duì)應(yīng)于由這些自變量組成一個(gè)函數(shù)（系統(tǒng)函數(shù)）。,,約束的類型,約束方程分類：依照含不含速度，分為：完整約束或幾何約束，非完整約束、運(yùn)動(dòng)約束或微分約束，如果可以積分，可將微分約束轉(zhuǎn)化為幾何約束；依照是否顯含時(shí)間，分為：穩(wěn)定約束，非穩(wěn)定約束；依照是否為等

13、號(hào)，分為：不等號(hào)時(shí)是可解約束，等號(hào)是不可解約束。,約束的類型,完整約束（幾何約束）穩(wěn)定的幾何約束不穩(wěn)定的幾何約束不完整約束 且不可積分成完整約束，也稱為微分約束?？山饧s束： 或 或雙面可解,不可解和可解約束,每個(gè)不可解約束，會(huì)使系統(tǒng)降低一個(gè)自由度。,約束的一些示例,活塞和轉(zhuǎn)輪連桿系統(tǒng),組合擺,純滾動(dòng)的約

14、束系統(tǒng),完整約束使得自由度減少，一般的完整約束可寫為方程變分和微分有很多共同之處，但變分可以是瞬時(shí)完成的，即 dt = 0，上式變分之后，可成為廣義坐標(biāo)q的變分 dq 的線性方程，形如 其中， ，這種形式是分析力學(xué)中處理約束所需要的。,約束變分的線性方程,完整約束使得自由度減少，非完整約束中，一般不可積分，因此不影響?yīng)毩⒆兞康膫€(gè)數(shù)，但如果是線性約束，能影響廣義坐標(biāo)變分的獨(dú)立性。線性非完整約束形如

15、 可得到與幾何約束所導(dǎo)出的變分線性方程的類似結(jié)果（注意到dt=0） 因而起到與幾何約束類相的效果。,可化為線性變分的非完整約束,廣義坐標(biāo),坐標(biāo)的個(gè)數(shù)比系統(tǒng)的自由度s多的時(shí)候，存在約束。約束的個(gè)數(shù)k正好等于坐標(biāo)的個(gè)數(shù)減去系統(tǒng)自由度。用s個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)來描述系統(tǒng)，這些獨(dú)立變量稱為廣義坐標(biāo)，而這些坐標(biāo)的數(shù)目即為系統(tǒng)的自由度。對(duì)應(yīng)滿足約束條件的質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)位置，有對(duì)于可解約束，是將其視為不可解約束來處理，如果發(fā)生離開約束的情況，就放棄約

16、束，增加一個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)，重新處理。,廣義坐標(biāo)的選用,各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的真實(shí)坐標(biāo)可以入選系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)。n個(gè)質(zhì)點(diǎn)的系統(tǒng)，真實(shí)坐標(biāo)有3n個(gè)，但廣義坐標(biāo)只有s=3n-k個(gè)。由于存在k個(gè)約束，廣義坐標(biāo)的個(gè)數(shù)較少，需要選擇使用。廣義坐標(biāo)也可以選用其他參數(shù)。選取的原則是：能夠方便地表示系統(tǒng)每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的幾何位置。即表達(dá)式 越簡潔越好。,第3次課,作業(yè)：1.1，1.2，1.3,虛位移,假想系統(tǒng)的各質(zhì)點(diǎn)瞬時(shí)發(fā)生了微小的符合約束條件的位移，稱為虛位移。

17、位移發(fā)生在與約束面相切的方向，而約束力是發(fā)生在與約束面垂直的方向。用廣義坐標(biāo)表示了各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位置之后，虛位移可以看作當(dāng)廣義坐標(biāo)任意變化之后，各個(gè)質(zhì)點(diǎn)位置隨之變動(dòng)而產(chǎn)生的位移。廣義坐標(biāo)的變化可以任意選取，但真實(shí)坐標(biāo)的變化因?yàn)橛屑s束存在而不能任意選取。,虛位移和真實(shí)的微小位移的差別,1.虛位移是瞬時(shí)完成的（dt=0），而實(shí)位移需要一小段時(shí)間（dt≠0）。2.虛位移在滿足約束的條件下可以任意選取，并未真是發(fā)生，而實(shí)位移一般與質(zhì)點(diǎn)的真實(shí)運(yùn)

18、動(dòng)相關(guān)。3. 虛位移的方向無論是穩(wěn)定約束還是非穩(wěn)定約束，都是沿著約束的切線方向，而實(shí)位移在非穩(wěn)定約束時(shí)，不一定沿著約束的切線方向。（例如，在膨脹著的氣球上爬行的小蟲）,理想約束,約束力常常與約束面的方向相垂直，或在系統(tǒng)中作為內(nèi)力雙雙出現(xiàn)，有其中 是虛位移習(xí)慣上，將虛位移視為變分，實(shí)位移視為微分。,分析力學(xué)中處理的約束情況絕大多數(shù)（或者說默認(rèn)為）是理想約束。非理想約束的情

19、況下，分析力學(xué)常用的方法是不成立的，通?？梢詫⒛承┮鹛撐灰谱龉Φ募s束力視為主動(dòng)力，化為理想約束處理。,,,理想約束,兩質(zhì)點(diǎn)A和B安置在剛性輕桿兩端，桿可繞中央的O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)。在質(zhì)點(diǎn)A上施加一個(gè)力F，考慮兩質(zhì)點(diǎn)所受到的約束力，是否一定與虛位移方向垂直？是否為理想約束？這個(gè)例子，雖然每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的約束力并不與虛位移垂直，可驗(yàn)證其仍是理想約束。,,,,A,O,B,,F,,,,,,理想約束,理想約束的常見的三種情況舉例：約束力與虛位移垂直。例如限

20、制在曲面上運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)所受到的約束力。約束力與虛位移點(diǎn)乘為0。約束力中，作用力和反作用力成對(duì)出現(xiàn)。如氣缸的鉸鏈處虛位移與約束力不垂直，但成對(duì)的作用力和反作用力的虛位移相同，因此做功求和為0。其他體系如杠桿兩端的約束力不同，位移也不同，但若將一些約束器械也納入系統(tǒng)考慮，則因作用力和反作用力成對(duì)出現(xiàn)，從而保證了約束力做功求和為0?？傊?，機(jī)械系統(tǒng)不能憑空產(chǎn)生能量（否則就可制作永動(dòng)機(jī)），若不因?yàn)槟Σ恋葥p耗能量，則其虛位移過程中所做功為0。,

21、考慮空間曲面的約束，取3維空間直角坐標(biāo)為廣義坐標(biāo)，曲面的幾何約束為對(duì)于曲面上相鄰的任意點(diǎn)，相距d r，有即 與曲面的切面垂直。同時(shí)，約束力也與曲面的切面垂直，因而兩者平行，滿足關(guān)系其中c是系數(shù)，R是約束力。,理想約束,非理想約束的情況,非理想約束時(shí)，理想約束條件不成立。常見的情況有：有摩擦等損耗能量情況，如機(jī)械裝置中潤滑不好。約束體的質(zhì)量不可忽略，其運(yùn)動(dòng)所具有的動(dòng)能不可忽略，如活塞裝置中的連桿質(zhì)量較大，這時(shí)就

22、不能將連桿視為約束體了，必須將其納入系統(tǒng)，系統(tǒng)才能是理想約束。約束體產(chǎn)生形變，使部分能量轉(zhuǎn)為彈性勢能被約束體存儲(chǔ)?？傊?，約束體不能對(duì)系統(tǒng)能量產(chǎn)生影響，否則，約束力做功之和不為0。,虛功原理,系統(tǒng)處于平衡時(shí)，每個(gè)質(zhì)點(diǎn)所受合力為0考慮虛位移所做的功，有對(duì)于理想約束，約束力所作虛功為0。從而在虛位移下主動(dòng)力做的功總和也為0，即,虛功原理,虛功原理可處理系統(tǒng)的平衡問題。此時(shí)，我們只要關(guān)注系統(tǒng)的主動(dòng)力的總虛功為0的事實(shí)。而約束力在方

23、程中消失，我們不必去解算。顯然，這是系統(tǒng)處于平衡的必要條件。對(duì)于不可解的(穩(wěn)定)約束，這個(gè)條件可以證明也是充分條件（約束如果不是穩(wěn)定的，就不會(huì)有靜力平衡的情況出現(xiàn)）。,虛功原理,使用廣義坐標(biāo)，方程可以化為：由于廣義坐標(biāo)是獨(dú)立變量，因此有必要定義廣義力方程化為,由于廣義坐標(biāo)的獨(dú)立性，系統(tǒng)平衡時(shí)有一般對(duì)于保守力體系，機(jī)械能守恒，保守力做功則系統(tǒng)勢能減小，有則系統(tǒng)平衡時(shí)

24、 ，說明系統(tǒng)勢能V達(dá)到極值。若是極小值，則系統(tǒng)是穩(wěn)定平衡。,虛功原理,對(duì)于保守力體系，虛功原理可化為則系統(tǒng)的勢能達(dá)到極值，極小值時(shí)平衡是穩(wěn)定的，極大值時(shí)平衡是不穩(wěn)定的,虛功原理,雙連桿的平衡問題勻質(zhì)的雙連桿一端固定在頂部，另一端受到水平方向恒定的力，求平衡時(shí)兩桿的角度。求約束力時(shí)，可將約束力看成主動(dòng)力，同時(shí)解約束，增加自由度，然后求解。（本書29頁。秦家樺，285頁。陳世民，170頁。金尚年，46頁。）,虛功原理舉例

25、,,,求解,解：,第4次課,作業(yè)：1.9，1.10，1.11,圓弧中兩球的平衡問題半徑為R的固定圓弧上，有兩個(gè)同樣大小但質(zhì)量不同的勻質(zhì)小球，其半徑為R/3，求平衡時(shí)兩球的位置。這個(gè)問題用虛功原理或勢能最小原理。,虛功原理舉例,求解,解：這里三個(gè)球心正好構(gòu)成正三角形。平衡時(shí)，小球組的質(zhì)心正好在鉛垂線上，是最低的。,求約束面的形狀一個(gè)均質(zhì)桿一端靠在光滑的墻壁，另一端所在的約束面是什么形狀才能使桿在任何位置都能平衡？（本書第10頁

26、）用勢能最小原理，當(dāng)虛位移發(fā)生時(shí)，桿的重心高度應(yīng)該不變。,虛功原理舉例,達(dá)朗貝爾原理,考慮動(dòng)態(tài)情況，這時(shí)可以將系統(tǒng)中的每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的加速運(yùn)動(dòng)看成在局部的非慣性參考系下的靜力平衡問題，需要加上慣性力，因此,達(dá)朗貝爾原理進(jìn)一步深化,由于廣義坐標(biāo)的獨(dú)立性，從達(dá)朗貝爾原理可進(jìn)一步推出,拉格朗日方程的由來,注意到由 同時(shí)將廣義速度與廣義坐標(biāo)視為不同的變量，可推得,拉格朗日方程,因此，得到拉格朗日方程其中T是系統(tǒng)質(zhì)點(diǎn)的總動(dòng)能,保

27、守力體系的拉格朗日方程,對(duì)于保守力，由于拉格朗日方程成為其中L=T-V是系統(tǒng)的拉格朗日量。,拉格朗日方程方法的長處,拉格朗日方程依然是從牛頓力學(xué)導(dǎo)出的，其方程與牛頓力學(xué)給出的結(jié)果必然相同。拉格朗日方程方法適合處理具有復(fù)雜約束的系統(tǒng)。廣義坐標(biāo)的優(yōu)選可使得約束的表達(dá)式更加簡單。約束使自由度減少，從而使方程數(shù)減少，未知量減少，自然消去了很多不需要知道的約束力未知數(shù)。拉格朗日方法是使用能量作為分析對(duì)象的，而能量是標(biāo)量，處理方便；

28、另外，能量在各種物理過程中普遍存在并相互轉(zhuǎn)化，可方便地推廣應(yīng)用到其他物理領(lǐng)域。而牛頓力學(xué)是使用矢量分析，受坐標(biāo)變換影響大，且矢量有較多的分量，處理較繁瑣。,拉格朗日方程解法步驟,確定系統(tǒng)自由度選擇廣義坐標(biāo)將各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位置矢量用廣義坐標(biāo)表達(dá)計(jì)算各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的速度給出系統(tǒng)的總動(dòng)能如果是保守系，給出勢能，如果不是保守系，給出廣義力相應(yīng)得到拉格朗日方程組結(jié)合初始條件求解,實(shí)例,連線穿孔兩小球的運(yùn)動(dòng)自由度為2廣義坐標(biāo)r，q。r1=

29、 r er，r2= (r-L) ez,實(shí)例,切向方程(q)即表示角動(dòng)量守恒。應(yīng)用于徑向方程(r)中，可積分化為類似質(zhì)點(diǎn)在勢阱中所作的自由度為1的運(yùn)動(dòng)，能量由勢能和動(dòng)能之間相互轉(zhuǎn)換。,第4次課,作業(yè)：1.6，1.8，1.13，1.14,哈密頓原理,作用量的定義體系從時(shí)刻t1到時(shí)刻t2的運(yùn)動(dòng)過程中，定義其作用量為哈密頓原理告訴我們，系統(tǒng)從t1演化到t2的所有可能路徑中，系統(tǒng)將沿著使作用量取極值的那條路徑移動(dòng)。“可能路徑“是指廣義坐

30、標(biāo)qi關(guān)于時(shí)間t的所有連續(xù)可微的函數(shù)關(guān)系qi(t)，且在初始時(shí)刻t1和終了時(shí)刻t2的位置是已知的確定值。,變分法求極值,哈密頓原理告訴我們，求解真實(shí)運(yùn)動(dòng)過程（得到坐標(biāo)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系）就是尋求作用量函數(shù)達(dá)到極值的問題。對(duì)于自變量為“函數(shù)”的函數(shù)極值問題，可以使用變分法。為了求S的極值，使函數(shù)q(t)稍作改變，改變量為l*dq(t)，其中dq(t)在兩端為0且連續(xù)可導(dǎo)，l為系數(shù)參量。,變分法求極值,函數(shù)q(t)變成q(t)+l*d(t

31、)，這時(shí)積分值S也可以看成是參數(shù)l的函數(shù)。如果函數(shù)q(t)可以使S取到極值，同樣必須在l=0時(shí)，S(l)取極值。即,變分法求極值,積分得（注意到ddq=ddq）由于dq(t)在兩端為0且其他點(diǎn)的任意性，從而必須有,變分法求極值,S取極值時(shí)，所需滿足的條件正是拉格朗日方程。反之，真實(shí)的過程滿足拉格朗日方程，能使作用量函數(shù)S取到極值。以上過程也能直接用變分法進(jìn)行：,變分法求極值的其他例子,最速下降線問題。上下兩端點(diǎn)固定，求哪

32、種曲線的軌道能使質(zhì)點(diǎn)從上端點(diǎn)由靜止在最短時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)到下端點(diǎn)？,變分法求極值的其他例子,最速下降線問題，解為擺線。令q為曲線上的切線與x軸的夾角，則,變分法求極值的其他例子,懸鏈線問題，解為雙曲余弦線。,光線行進(jìn)時(shí)間為極值（通常是極小值）的路徑。,變分法求極值的其他例子,單位球面上短程線問題。 a代表切線et與經(jīng)線eq夾角。由于z軸選取的任意性，我們可取p1在北極點(diǎn)，則c1=0。et與經(jīng)線eq夾角a始終為0，即沿經(jīng)

33、線走到p2點(diǎn)。,變分法求極值的其他例子,事實(shí)上，可積分求解球面上短程線問題：是過零點(diǎn)的平面方程，應(yīng)該是同時(shí)過始末兩點(diǎn)，且與球面相交所得的圓。,變分法求極值的其他例子,第5次課,作業(yè)：1.16，1.18，1.20，1.21,條件變分問題,積分約束條件下的變分問題舉例：由一條長度為L且始末兩點(diǎn)是x軸上固定點(diǎn)的曲線與x軸圍成最大面積。通用的處理方法：將約束條件乘以參數(shù)l，加到被積函數(shù)之中，使之取極值。S若取到極值，必

34、須 即滿足約束條件。,條件變分問題,令q為曲線切線與x軸的夾角，則,與哈密頓原理類似的其他原理,莫培督原理。應(yīng)用于保守力體系。等能而不等時(shí)的變分為0。由哈密頓原理：為了強(qiáng)調(diào)是等能變分而不是等時(shí)的，變分符號(hào)用 D 代替 d ：,莫培督原理,進(jìn)一步，若動(dòng)能T可改寫為：則式中dt已被消去。這即是莫培督原理的變分形式，可用等能變分求運(yùn)動(dòng)軌跡。,莫培督原理舉例,求拋體運(yùn)動(dòng),莫培督原理解平方反比力,求平方反比力有

35、心力場中的運(yùn)動(dòng),與哈密頓原理類似的其他原理,費(fèi)馬原理應(yīng)用于幾何光學(xué)。光線沿用時(shí)最短的路徑前進(jìn)平衡體系能量最?。ㄖ亓菽?，靜電能，磁場能量），如果沒達(dá)到最小，可經(jīng)過一段時(shí)間的調(diào)整，耗散能量，最后達(dá)到最小。而哈密頓原理和費(fèi)馬原理的最小值取得是瞬時(shí)的。,從哈密頓原理看拉格朗日函數(shù)的相加性,兩個(gè)相互獨(dú)立體系組成統(tǒng)一體系：LA=TA-VA，LB=TB-VB，則L=LA+LB由于兩系統(tǒng)相互獨(dú)立，必須兩項(xiàng)都為0。因而可通過L的簡單相

36、加合并兩個(gè)相互獨(dú)立體系，反之也可把L中的獨(dú)立體系分離出來。,拉格朗日函數(shù)可以加上任一個(gè)函數(shù)f(q,t)的時(shí)間全微商，不影響結(jié)果。因?yàn)槿⒎值姆e分是定值，對(duì)作用量的變分沒有貢獻(xiàn)。由于始末端固定，f的變分為0也可以直接驗(yàn)證 滿足拉格朗日方程。,從哈密頓原理看拉格朗日函數(shù)的非唯一性,直接驗(yàn)證：為了簡便，拉格朗日函數(shù)中的時(shí)間全微分項(xiàng)可以適當(dāng)去除。,從哈密頓原理看拉格朗日函數(shù)的非唯一性,,,解題實(shí)例,螺旋線

37、上的珠子軌道方程為已知,,,,,,,陳世民，P25例1.5,解題實(shí)例,在豎直平面內(nèi)的彈簧擺,解題實(shí)例,在豎直平面內(nèi)的兩個(gè)繩連重物,第6次課,作業(yè)：1.24，1.25，1.26，1.28,拉格朗日函數(shù)與運(yùn)動(dòng)積分,一般情況下，拉格朗日方程為s個(gè)二階微分方程（s為自由度），求解之后，有2s個(gè)積分常數(shù)。這些積分常數(shù)需要初始條件（t=0時(shí)的廣義坐標(biāo)和廣義速度）確定，得到有時(shí)，某個(gè)Ci可以表示為廣義坐標(biāo)和廣義速度的組合，在運(yùn)動(dòng)過程中保持守恒，

38、成為運(yùn)動(dòng)積分：,拉格朗日函數(shù)與運(yùn)動(dòng)積分,廣義動(dòng)量的定義：拉格朗日方程成為類似牛頓定律的方程循環(huán)坐標(biāo)：如果拉格朗日函數(shù)中不顯含有某個(gè)廣義坐標(biāo) qi ，則此坐標(biāo)成為循環(huán)坐標(biāo)。循環(huán)坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的廣義動(dòng)量 pi 守恒，是運(yùn)動(dòng)積分。,拉格朗日函數(shù)與廣義能量,當(dāng)拉格朗日函數(shù)不顯含時(shí)間 t 時(shí)，能夠得到的運(yùn)動(dòng)積分是廣義能量 H。,拉格朗日函數(shù)與廣義能量,對(duì)于幾何約束，可以求速度表達(dá)式為：動(dòng)能表達(dá)式中所含的廣義速度的,拉格朗日函數(shù)與廣義能量

39、,此時(shí)，L不顯含時(shí)間 t 時(shí)，有守恒量對(duì)于穩(wěn)定的幾何約束，T=T2，H=T+V是機(jī)械能。這里著重指出的是，如果約束是不穩(wěn)定的，系統(tǒng)的機(jī)械能并不守恒，守恒的是廣義能量H。,廣義能量舉例,求解一個(gè)彈簧振子在一個(gè)以w角速度繞z軸旋轉(zhuǎn)的、在xy平面內(nèi)的光滑管中的運(yùn)動(dòng)。與機(jī)械能守恒不同可看作是離心力產(chǎn)生的勢能。不穩(wěn)定約束產(chǎn)生了T0項(xiàng),z,x,y,相對(duì)論中的光速不變性，要求光在運(yùn)動(dòng)時(shí)的空間和時(shí)間的參量變化保持下式不變（都為0）

40、：推而廣之，我們要求在相對(duì)論中，質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)產(chǎn)生的ds在不同參考系中也保持不變。同時(shí)我們知道在普通三維空間中，兩點(diǎn)之間的間距|dr|在不同參考系中都保持不變，因此，只要將時(shí)間變成第4維，運(yùn)動(dòng)位移成為4維向量 而ds正比于它在4維空間中的間距|dr(4)|，也能保持不變。,相對(duì)論時(shí)的拉格朗日函數(shù),如何描述一個(gè)自由質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，是最基本最簡單的問題。對(duì)此，我們希望給出相對(duì)論時(shí)空中的自

41、由質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的作用量函數(shù)。因?yàn)樽饔昧亢瘮?shù)是標(biāo)量，標(biāo)量不會(huì)因選取不同的坐標(biāo)系而變化，而對(duì)于自由運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，我們能構(gòu)造出的具有這種不變性的量僅僅是它運(yùn)動(dòng)時(shí)的4維間距，是僅知的標(biāo)量。因此，取為了能在低速情況下回到經(jīng)典的拉格朗日函數(shù)，必須取恰當(dāng)?shù)南禂?shù),相對(duì)論時(shí)的拉格朗日函數(shù),這樣，我們得到了相對(duì)論時(shí)的拉格朗日函數(shù)，并能驗(yàn)證它在低速情況下能回到經(jīng)典力學(xué)的拉格朗日函數(shù)（僅相差一個(gè)常數(shù)）：從而，質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量為與經(jīng)典情況相比，產(chǎn)生了質(zhì)量增

42、加的效果。,相對(duì)論時(shí)的拉格朗日函數(shù),保守場中，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為：這即是質(zhì)點(diǎn)的受力方程動(dòng)能,相對(duì)論時(shí)的拉格朗日函數(shù),質(zhì)能公式：這里b是歸一化速度，g是相對(duì)論因子。拉格朗日函數(shù)這時(shí)并不是 T-V（動(dòng)能減勢能）。有了拉格朗日函數(shù)，相對(duì)論的運(yùn)動(dòng)過程都已經(jīng)得到解決。具體運(yùn)用到各個(gè)方面，可以與各個(gè)經(jīng)典物理的結(jié)果作比較分析。,相對(duì)論時(shí)的拉格朗日函數(shù),4維時(shí)空的“位移”：4維位移的絕對(duì)值是4維空間的標(biāo)量，不隨選取不同的坐標(biāo)系

43、而變化。對(duì)于另外一個(gè)以勻速v0運(yùn)動(dòng)的慣性系，經(jīng)典力學(xué)給出伽利略變換：我們需要尋找4維時(shí)空的變換，使得在低速時(shí)是伽利略變換，且保持4維矢量的模不變。,相對(duì)論的時(shí)空變換,兩個(gè)慣性系之間的4維時(shí)空的坐標(biāo)進(jìn)行變換時(shí)，由于起始時(shí)間和原點(diǎn)重合，因而時(shí)空坐標(biāo)原點(diǎn)也重合。4維時(shí)空點(diǎn)在兩個(gè)坐標(biāo)系中分別表示為而在低速時(shí)近似要有這里 b=v0/c，比較之后近似有歸一化后，可取與之正交的 ，

44、從而,相對(duì)論的時(shí)空變換,因?yàn)閐t 是4維空間的標(biāo)量，是時(shí)空坐標(biāo)變換時(shí)的不變量，用它代替dt 求速度時(shí)，可得 4維空間的速度向量 u(4) =(dr, icdt)/dt = g(v, ic) 4維向量：動(dòng)量-能量 mu(4) = (p,iE/c)它們都遵從洛侖茲變換。如它們都有不變的模,相對(duì)論的時(shí)空變換,第7次課,作業(yè)：1.30，1.33，1.36，1.37,拉格朗日函數(shù)的空間均勻性,拉格朗日函數(shù)的空間均勻性指當(dāng)將系統(tǒng)進(jìn)行

45、一個(gè)微小的平移之后，拉格朗日量不改變。由dr的任意性得到動(dòng)量守恒。,拉格朗日函數(shù)的空間各向同性,拉格朗日函數(shù)的空間各向同性指當(dāng)將系統(tǒng)進(jìn)行一個(gè)微小的轉(zhuǎn)動(dòng)之后，拉格朗日量不改變。由dj 的任意性得到角動(dòng)量守恒?？臻g均勻性可看作x,y,z是循環(huán)坐標(biāo)，各向同性可看作j是循環(huán)坐標(biāo)。,帶電粒子在電磁場中的拉格朗日函數(shù),在相對(duì)論中，我們?nèi)?維時(shí)空的位移向量為空間的電磁場同樣是由4維的電磁場勢能向量描述，后面可以驗(yàn)證可寫為：

46、描述帶電粒子在電磁場中運(yùn)動(dòng)的作用量函數(shù)dS還需要有一個(gè)標(biāo)量部分，這個(gè)標(biāo)量要有描述粒子運(yùn)動(dòng)位移的成份，也要有描述電磁場的成份。此時(shí)，dr(4)?(A,ij/c)符合要求。兩個(gè)4維向量點(diǎn)乘，得到不隨坐標(biāo)變化的標(biāo)量。另外還要乘以粒子的電荷e。,帶電粒子在電磁場中的拉格朗日函數(shù),在相對(duì)論中，可取作用量函數(shù)為而對(duì)于低速情況，可取普通的動(dòng)能代替拉格朗日函數(shù)的第一項(xiàng)。當(dāng)然也可以不替換。得到拉格朗日函數(shù)廣義動(dòng)量：拉格朗日方程：,帶電粒子在

47、電磁場中的拉格朗日方程,x分量為拉格朗日方程：利用得到洛侖茲力方程,粒子在電磁場中運(yùn)動(dòng)方程的4維形式,用4維向量重新寫拉格朗日函數(shù)和方程：得到Fji是電磁場張量。方程在4維時(shí)空坐標(biāo)變換下形式不變。,粒子在電磁場中運(yùn)動(dòng)方程的4維形式,矩陣形式：矩陣[Fji]是反對(duì)稱的，求本征值方程|Fji-lI|=0時(shí)，是關(guān)于l2的一元二次方程。由于本征值在坐標(biāo)變換時(shí)的不變性，因而方程系數(shù)也是不變的。,粒子在電磁場中運(yùn)動(dòng)

48、方程的4維形式,其中， 是標(biāo)量，以后在電磁場的拉格朗日函數(shù)中需要用到。另一個(gè)系數(shù)E?B也是不變的，但它是贗標(biāo)量（考慮時(shí)間反向的運(yùn)動(dòng)，從受力方程看，速度反向，電場不變而磁場反向，因而E?B反號(hào)，而真標(biāo)量應(yīng)該不變。），但(E?B)2是標(biāo)量。,第8次課,作業(yè)：1.29，1.34，1.38，1.39,兩體碰撞,兩體問題是質(zhì)點(diǎn)相互作用中最簡單最基本的過程。大到太陽和地球的相互作用，小到原子核之間的散射碰撞，都可以簡化為兩體問題。兩體問

49、題可以約化為單質(zhì)點(diǎn)的有心力問題。用兩點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心位置rc和兩點(diǎn)間的位移r代替兩質(zhì)點(diǎn)的位置r1，r2。,兩體碰撞的拉格朗日函數(shù),定義 m=m1m2/(m1+m2) 是約化質(zhì)量，可解得從而拉格朗日函數(shù)可寫為,兩體碰撞是有心力作用下的平面運(yùn)動(dòng),利用拉格朗日函數(shù)的相加性，分解為一個(gè)質(zhì)量為（m1+m2）的自由質(zhì)點(diǎn)，與一個(gè)質(zhì)量為 m 的在勢能 V(r) 中運(yùn)動(dòng)的粒子。牛頓第三定律告訴我們，兩質(zhì)點(diǎn)的相互作用是沿著 r 方向的，因此勢能 V(

50、r) 產(chǎn)生的作用力是有心力。有心力作用時(shí)，力矩為0，因而角動(dòng)量 J = r x mv守恒。以角動(dòng)量的方向?yàn)閦軸，因?yàn)閞垂直于J，質(zhì)點(diǎn)可限制在xy平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。,兩體碰撞的方程,約化質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的拉格朗日函數(shù)：相應(yīng)的拉格朗日方程：角動(dòng)量守恒可寫為b是瞄準(zhǔn)距離，v0是初始速度,彈性碰撞與非彈性碰撞,彈性碰撞時(shí)，相互作用力是保守力，機(jī)械能守恒。約化質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)的初速度與末速度相等。這意味著它的速率不變但運(yùn)動(dòng)方向可能改變。|v1&

51、#39;-v2'|=|v1-v2|非彈性碰撞時(shí)，有耗散作用力將一部分機(jī)械能轉(zhuǎn)變成熱能，因而其末速率比初速率小，兩者比例為參數(shù)e。e=1是彈性碰撞，而非彈性碰撞時(shí)e<1。|v1'-v2'|=e|v1-v2|,彈性碰撞與非彈性碰撞,一般來說，碰撞之后的速度表示為v1' = vc + | v1-v2 | e m2 / (m1+m2)v2' = vc - | v1-v2 | e m1 / (m

52、1+m2)其中 vc = (m1v1+m2v2) / (m1+m2) 是質(zhì)心的速度，e 是不超過1的向量，代表質(zhì)點(diǎn)在質(zhì)心系里碰撞之后的方向，其大小代表速度的恢復(fù)率。對(duì)于彈性碰撞，其數(shù)值為1，對(duì)于非彈性碰撞，其數(shù)值小于1。,平方反比力的碰撞,對(duì)于平方反比力，假設(shè) F(r)=k/r2 ，k的符號(hào)決定是斥力或者是引力。對(duì)時(shí)間積分：從而,平方反比力碰撞的軌跡,因此取eq方向，除以h或是雙曲線，最近距離為,平方反比力碰撞的偏轉(zhuǎn)角,令

53、 r →無窮大，求偏轉(zhuǎn)角j由此得到偏轉(zhuǎn)角這里b是瞄準(zhǔn)距離， b0是偏轉(zhuǎn)90°的瞄準(zhǔn)距離,微分散射截面,通過散射過程，某一小塊立體角dW（可以看作是單位球上的一塊小面積）與某塊入射面積ds對(duì)應(yīng)起來，微分散射截面就是指 ds/dW。由偏轉(zhuǎn)角和瞄準(zhǔn)距離的關(guān)系就能得到散射截面。盧瑟福散射實(shí)驗(yàn),B,,,,,,,,q,A,b,,,,,,,微分散射截面,平方反比力的散射截面為剛性球的散射截面,碰撞速度的圖示,質(zhì)心系

54、中，m1和m2的初始速度為 v1，v2 ~（m2，m1）碰撞之后速度為v'1，v'2，~（em2, em1）質(zhì)心速度為vc還原到實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系里，末速度為v'1，v'2,第9次課,作業(yè)：2.1，2.2，2.3,實(shí)驗(yàn)室參考系的偏轉(zhuǎn)角,考慮實(shí)驗(yàn)室參考系中，初始時(shí)m2是靜止的。畫出速度 v1c，v2c，v'1c，v'2c，v'1，v'2，vc長度比例 m2，m1，em2,

55、 em1, ??，??，m1,碰撞問題舉例,平面上兩個(gè)小球的彈性碰撞，m2初始速度為0。證明：若 m1=m2時(shí)碰撞之后兩小球的運(yùn)動(dòng)方向相互垂直?？稍谫|(zhì)心系作速度分析說明兩球末速度相互垂直（上圖）。也可用勾股定理對(duì)應(yīng)直角三角形來證明。也可沿作用力方向分解說明其后速度垂直（下圖）。,碰撞問題舉例,平面上兩個(gè)小球的彈性碰撞，m2初始速度為0。分 m1>m2和m1m2時(shí)m1最大偏轉(zhuǎn)角m1<m2時(shí)m2最大偏轉(zhuǎn)角,m1>

56、;m2,m1<m2,實(shí)驗(yàn)室參考系的微分散射截面,只要求出實(shí)驗(yàn)室參考系與質(zhì)心系的立體角之比，就能利用質(zhì)心系的微分散射截面公式。完全彈性碰撞時(shí)，e=1：由得,實(shí)驗(yàn)室參考系的微分散射截面,考慮質(zhì)量比a=m1/m2<<1，=1的兩種情況。a<<1a=1,實(shí)驗(yàn)室參考系的微分散射截面,對(duì)于盧瑟福散射，考慮a=m1/m2<<1，=1的兩種情況。a<<1a=1,實(shí)驗(yàn)室參考系的動(dòng)

57、能交換,碰撞之后 m1的動(dòng)能平均值為利用剛性球模型當(dāng)a=m1/m2=e2時(shí)碰撞交換走的動(dòng)能最多，此時(shí)m1損失的動(dòng)能占原先的1/(e2+1)。,相對(duì)論高能粒子的碰撞,以 p1，E1，p'1，E'1和 p2，E2，p'2，E'2 分別代表 m1和 m2 質(zhì)點(diǎn)在碰撞前、后的動(dòng)量和能量，運(yùn)用動(dòng)量守恒和能量守恒，有由于碰撞是平面問題，可以看作p'1x，p'1y，p'2x，

58、p'2y，四個(gè)未知量，最后一個(gè)方程給出了能量E的表達(dá)，E視為已知。需求解的方程只有3個(gè)（動(dòng)量2個(gè)能量1個(gè)）還需要一個(gè)條件，如偏轉(zhuǎn)角，或其中一個(gè)粒子的末動(dòng)能等。,相對(duì)論碰撞例題,能量為Ei 的光子被質(zhì)量為 me的靜止電子所散射。散射后光子能量為Ef 并偏轉(zhuǎn) q ，證明這幾個(gè)量有關(guān)系 1 - cosq = mec2(1/Ef - 1/Ei )證： 化簡整理即得。,相對(duì)論碰撞例題,一個(gè)靜止的p+介子衰變成m+子

59、和中微子。三者靜止質(zhì)量分別是mp0，mm0和0。求m子和中微子的動(dòng)能：,開普勒定律,開普勒在觀測行星運(yùn)動(dòng)的基礎(chǔ)上提出了三個(gè)定律：1. 行星軌道是橢圓，太陽在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。2. 行星與太陽連線在單位時(shí)間內(nèi)掃過相同的面積。3. 行星軌道周期的平方與其軌道半長軸的立方成比例。開普勒第一定律給出了運(yùn)動(dòng)的軌道，不是圓上套圓的運(yùn)動(dòng)，而是簡單的橢圓，是個(gè)不小的進(jìn)步。開普勒第二定律給出了行星方位隨時(shí)間變化關(guān)系。開普勒第三定律給出了不同行星的軌

60、道之間的共性。,行星運(yùn)動(dòng)和受力,開普勒三定律是運(yùn)動(dòng)學(xué)定律，從而我們可以從它對(duì)行星運(yùn)動(dòng)的描述求得行星的受力。牛頓發(fā)現(xiàn)萬有引力定律，不是靠蘋果砸的，而是從開普勒定律推算得到。開普勒第一定律給出了運(yùn)動(dòng)的軌道是橢圓，因此這是平面運(yùn)動(dòng)，可用極坐標(biāo)處理：計(jì)算行星受力，為,行星受力是有心力,由開普勒第二定律，有可令 是常數(shù)，即是角動(dòng)量守恒，得到eq方向受力為0，行星受力為有心力。計(jì)算行星受力時(shí)，時(shí)間 t 也用此替換

61、：,萬有引力定律,這說明行星受力是平方反比引力。但系數(shù) 對(duì)每個(gè)行星都一樣嗎？開普勒第三定律講的是行星之間的共性，即 是常數(shù)。以上用到了可取 ，故萬有引力為,萬有引力中的拉格朗日量和廣義能量,萬有引力是保守力，提供了保守場引力系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)為不顯含時(shí)間t，廣義能量（此處即機(jī)械能）守恒,作業(yè)：2.4，2.5，2.6,第10次課,微振動(dòng),各個(gè)質(zhì)點(diǎn)在平衡位置附近作微振動(dòng)，且平衡點(diǎn)

62、的類型是穩(wěn)定平衡點(diǎn)，即偏離平衡時(shí)，系統(tǒng)的勢能增加。對(duì)于不穩(wěn)定平衡和隨遇平衡，系統(tǒng)無法產(chǎn)生往復(fù)振動(dòng)。 廣義坐標(biāo)一般為 qi=qi(0)+qi(1)，其中0階量是常量，是平衡時(shí)的位置，而1階量是振動(dòng)的變量。在解微振動(dòng)的問題時(shí)，要重新取廣義坐標(biāo)使得qi(0)=0。以下的研究都是基于平衡點(diǎn)在廣義坐標(biāo)取0值進(jìn)行的。若不這樣取，某些結(jié)果不能套用。,微振動(dòng)勢能,對(duì)勢能 V(q) 在平衡位置附近進(jìn)行小量展開取V(0)=0，平衡點(diǎn)上又有 ?V/

63、?qi=0，并記 因是微振動(dòng)，忽略2階以上的高階小量。寫為矩陣二次型形式：這里第一個(gè)下標(biāo)是行序數(shù)，第二個(gè)是列序數(shù)。,微振動(dòng)的動(dòng)能,因?yàn)橄到y(tǒng)有平衡位置存在，因此約束必是穩(wěn)定的，此時(shí)動(dòng)能是廣義速度的二階齊次項(xiàng)（T=T2），為這里矩陣 m 的各個(gè)分量一般也可以是位置q 的函數(shù)，但我們對(duì)動(dòng)能只能保留到2階小量，因而需在平衡點(diǎn)上計(jì)算 m，得到的 m 為常量。,微振動(dòng)的拉格朗日函數(shù),動(dòng)能 T 總不能小于0（速度平方總不小于0

64、），因此矩陣 m = ( Mij )sxs 是正定的。在穩(wěn)定的平衡點(diǎn)勢能V取極小值0，因此 V≥0，k=(kij ) sxs是正定的；同樣，T≥0， m =( mij )sxs也是正定的。拉格朗日函數(shù)可寫為拉格朗日方程為,微振動(dòng)的拉格朗日方程,由矩陣m、k的對(duì)稱性，得到拉格朗日方程這是一個(gè)線性常微分方程組，即如果 q(A)和 q(B) 都是方程的解，則 q(C) = aq(A) + bq(B) 也是方程的解。因此，q 的運(yùn)動(dòng)

65、盡管可能出現(xiàn)多種頻率的振動(dòng)，我們可以把每一個(gè)頻率的振動(dòng)單獨(dú)分解出來研究。對(duì)于頻率為 w 的振動(dòng)，不妨設(shè)為 q = Re[qw exp(iwt)]，得到線性方程組：,微振動(dòng)的久期方程,q = 0顯然是方程的解。若要得到非 0 解，必須滿足久期方程：對(duì)于w2而言，這是一個(gè)一元s次方程，應(yīng)該有s個(gè)解，稱為s個(gè)本征（簡正）頻率對(duì)于不滿足這個(gè)久期方程的頻率，線性方程組只有 0 解，意味著不存在該頻率的振動(dòng)。反之，能夠出現(xiàn)的振動(dòng)頻率必須滿足久

66、期方程，且是s個(gè)本征頻率之一。當(dāng)w=wj時(shí)，方程組 線性相關(guān)，可解得一組非 0 振幅 qw =qwj，稱為本征（簡正）向量。,微振動(dòng)的拉格朗日方程,方程組也可以變形為矩陣m可以求逆矩陣，是因?yàn)槿羲男辛惺綖?，則方程 一定有非0解，則對(duì)應(yīng)非0的廣義速度其動(dòng)能 ，這說明m的行列式是不可能為0的。

67、一維情況下方程 容易解出簡諧振動(dòng)的解。對(duì)于多維情況，就要做廣義坐標(biāo)q的線性變換q=RQ，通過適當(dāng)?shù)淖儞Q矩陣R和新的廣義坐標(biāo)Q，可使矩陣m-1k對(duì)角化，對(duì)角元素是本征值wj2，久期方程顯然正是求m-1k本征值的方程。,本征頻率重根時(shí)的本征向量,解出的本征向量顯然不具有唯一性，但同一個(gè)本征頻率對(duì)應(yīng)的不同本征向量之間一般只相差一個(gè)常數(shù)倍，意義相同。只對(duì)于久期方程的n重根頻率，才能對(duì)應(yīng)有線性無關(guān)的n個(gè)本征向

68、量出現(xiàn)。對(duì)于有重根頻率的情況，s個(gè)本征向量能通過適當(dāng)選取使其是線性無關(guān)的。下面會(huì)證明w2是不小于0的實(shí)數(shù)，從而本征向量的各個(gè)分量也為實(shí)數(shù)。,微振動(dòng)的本征振動(dòng),用 qwT 乘以線性方程，可知：由于 m和 k 都是正定的實(shí)對(duì)稱二次型矩陣，w2 也是非負(fù)的。因此，本征頻率都是實(shí)數(shù)。事實(shí)上，w2 也是矩陣 m-1k 的本征值，而 qw 正是對(duì)應(yīng)的本征向量，滿足：由于久期方程是關(guān)于w2 的一元 s 次方程，應(yīng)該有 s 個(gè)根，前面已經(jīng)