09年北京市高考數(shù)學(xué)卷第19題探究

1、109年北京市高考數(shù)學(xué)卷第年北京市高考數(shù)學(xué)卷第19題探究題探究南京市金陵中學(xué)宋輝210005摘要：本文探究2009年北京市高考數(shù)學(xué)卷第19題的一般結(jié)論，及一般結(jié)論的逆定理，并將其結(jié)論類比到橢圓中，得到相應(yīng)的結(jié)論及幾個有趣的推論.關(guān)鍵詞：定值；類比；雙曲線；橢圓；切線2009年全國高考北京市高考數(shù)學(xué)卷第19題已知雙曲線C：－＝1（a0，b0）的離心率為，右準(zhǔn)線方程為x＝.x2a2y2b23（1）求雙曲線C的方程；（2）設(shè)直線l是圓O：x2

2、＋y2＝2上的動點(diǎn)P（x0，y0）（x0y0≠0）處的切線，l與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A、B，求證∠AOB的大小是定值.略解略解（1）雙曲線C：x2－＝1；y22（2）∠AOB的大小是定值且為90.本文探究該問題的一般結(jié)論：定理定理1設(shè)雙曲線C：－＝1（ba0），直線l是圓O：x2＋y2＝上的動點(diǎn)x2a2y2b2a2b2b2－a2P（x0，y0）（x0y0≠0）處的切線，l與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A、B，則∠AOB的大小是定值且為90.

3、證明證明設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2），令r2＝.a2b2b2－a2cos∠AOB＝.過切點(diǎn)P（x0，y0）的切線l的方程為x0x＋y0y＝r2，且x＋y＝r2.2020聯(lián)立方程組：消去y得（b2y－a2x）x2＋2a2r2x0x－a2r4－a2b2y＝0.202020Δ0，x1＋x2＝－，x1x2＝.y1y2＝.x1x2＋y1y2＝＋＝＝.由r2＝，得x1x2＋y1y2＝0.a2b2b2－a2故cos∠AOB＝0，即∠AOB＝9

4、0.3化簡得（a2＋b2）n2＝a2b2（1＋m2），即＝，n21＋m2a2b2a2＋b2若存在圓x2＋y2＝r2與直線l：y＝mx＋n相切，則圓心（0，0）到直線l的距離d＝.故存在定圓O：x2＋y2＝與直線l相切.a2b2b2＋a2推論推論1設(shè)橢圓C：＋＝1（ab0），若動直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)x2a2y2b2A、B，且∠AOB＝90，則原點(diǎn)到動直線l的距離為定值.a2b2b2＋a2證明證明略.定理定理4設(shè)雙曲線C：－＝1（(

5、ba0），若動直線l與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)x2a2y2b2A、B，且∠AOB＝90，則存在定圓O：x2＋y2＝與直線l相切.a2b2b2－a2證明證明設(shè)直線l：y＝mx＋n，A（x1，y1）、B（x2，y2）.聯(lián)立方程組：消去y得（b2－a2m2）x2－2mna2x－a2n2－a2b2＝0.x1＋x2＝，x1x2＝.2mna2b2－a2m2－a2n2－a2b2b2－a2m2y1y2＝m2x1x2＋mn（x1＋x2）＋n2.由∠AOB＝

6、90，得x1x2＋y1y2＝0，即（1＋m2）＋mn＋n2＝0.－a2n2－a2b2b2－a2m22mna2b2－a2m2化簡得（b2－a2）n2＝a2b2（1＋m2），即＝，n21＋m2a2b2b2－a2若存在圓x2＋y2＝r2與直線l：y＝mx＋n相切，則圓心（0，0）到直線l的距離d＝.故存在定圓O：x2＋y2＝與直線l相切.a2b2b2－a2推論推論2設(shè)雙曲線C：－＝1（(ba0），若動直線l與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)x2a2y2