數(shù)學(xué) 幾何論證題中輔助線的添加方法

1、1中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題——幾何論證題中輔助線的添加方法幾何論證題中輔助線的添加方法例1：如圖：等腰梯形ADBC中AB∥CD，底角∠ABC=450對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，且∠BOC=1200求：的值BCAD分析：在已知條件中，底角∠ABC=450，有的同學(xué)想到延長兩腰，出現(xiàn)一個(gè)等腰直角三角形。而在本題中這樣添輔助線，反而增加解題困難，因?yàn)椤螧OC=1200的條件不能很好的運(yùn)用。故本題添輔助線時(shí)，應(yīng)考慮過上底頂點(diǎn)D（或A）作對(duì)

2、角線的平行線，把梯形問題轉(zhuǎn)化為平行四邊形及頂角為1200的等腰三角形問題，而解等腰三角形時(shí)，常添的輔助線是作底上的高，這樣不難求的比值。BCAD證明：過D點(diǎn)作DF∥AC交BC的延長線于F，作DE⊥BC于EAD∥BCAD=CFAC∥DFAC=DF??ACFD平行四邊形等腰梯形ABCDDB=ACBD=DF??AC∥DF∠BDF=∠BOC=1200?DE⊥BF∠BDE=600BE=EFBE=EF=??a3∠BED=900設(shè)aDE?DE⊥BCa

3、CEDE??aADCF)13(?????∠BCD=450EF=a3aCEBEBC)13(????.?32)13()13(?????aaBCAD例2：如圖：已知直線PQ是線段AB的中垂線，C是OQ上的任意一點(diǎn)，若OD⊥BC3求證：CP=CD圖（1）圖（2）分析：要證明CP=CD，因?yàn)镃P、CD在同一三角形中，一般三種思路可證：思路（1）：只要證對(duì)角相等，即證∠1=∠2。如圖（1）分別尋找∠1、∠2的等量，∵ABCD是正方形，∴AB∥CD，

4、∠2=∠AEP，∠1=？，延長CP交AB于G，∴∠1=∠EPG。要證∠1、∠2只要證∠AEP=EPG，由已知可知，E、F為AB、BC的中點(diǎn)可證：△AED≌△BFA，可得AF⊥DE，P為垂足。假設(shè)∠AEP=∠EPG，G可能為AE的中點(diǎn)，因此證PG為AE的中線是本思路證題的關(guān)鍵。本題出現(xiàn)“母子”三角形基本圖形故不難，推得，設(shè)PEPAPEADAE??21為a，PA為2a，PD為4a，因?yàn)锳E∥CD，可推得PE:PD=EG:CD=1:4。由此可

5、證得G為AE的中點(diǎn)，PG是AE的中線，∠AEP=∠EPG成立。從分析的過程中得到思路（2），CDPCABABAEPGPCPGCDEGPDPE????????412141?思路（3）：要證CP=CD，只要證：C在線段PD的中垂線上，取AD的中點(diǎn)，連CH、PH，證：四邊形AFCH為平行四邊形，由思路（1）可知，AF⊥DE，故CH⊥DE，再證：CH平分PD，通過Rt△APO易證CH平分PD。證明方法（1）：∵E、F為AB、BC的中點(diǎn)，ABCD

6、是正方形，∴AB=AD，∠B=∠DAE，BF=AE∴△ADE≌△BAF，∴∠ADE=∠EAP∵∠EAP∠DAP=900，∴∠ADE∠DAP=900，∴∠APD=∠APE=900，∵∠ADE=∠EAP，∴△APE∽△DPA，∴aPEAPPEADAE為設(shè)21??∴，AB∥CDaPDPDPEAPaAP422??????∴1:2，???ABAEPDPECDEG?41∴G為AE的中點(diǎn)，PG=EG∵∠GEP=∠GPE，∵∠GPE=∠1，∠GEP=∠