塑性力學-應力狀態(tài)

1、塑性力學,,第1章 應力分析,應力狀態(tài)三維應力狀態(tài)分析三維應力狀態(tài)的主應力最大剪應力等傾面上的正應力和剪應力應力羅德參數(shù)與應力羅德角應力張量的分解平衡微分方程,1. 外力,體力、面力,(1) 體力,—— 彈性體內單位體積上所受的外力,—— 體力分布集度,（矢量）,X、Y、Z為體力矢量在坐標軸上的投影,單位：,N/m3,kN/m3,說明：,(1) F 是坐標的連續(xù)分布函數(shù)；,(2) F 的加載方式是任意的 (如：

2、重力，磁場力、慣性力等),(3) X、Y、Z 的正負號由坐標方向確定。,,1－1 應力狀態(tài),(2) 面力,—— 作用于物體表面單位面積上的外力,—— 面力分布集度（矢量）,—— 面力矢量在坐標軸上投影,單位：,1N/m2 =1Pa (帕),1MN/m2 = 106Pa = 1MPa (兆帕),說明：,(1) F 是坐標的連續(xù)分布函數(shù)；,(2) F 的加載方式是任意的;,,(3) 的正負號由

3、坐標方向確定。,2. 應力,(1) 一點應力的概念,內力,,(1) 物體內部分子或原子間的相互作用力;,(2) 由于外力作用引起的相互作用力.,(不考慮),M,,(1) M點的內力面分布集度,(2) 應力矢量,----M點的應力,的極限方向,由外力引起的在 P點的某一面上內力分布集度,應力分量,,應力的法向分量,—— 正應力,應力的切向分量,—— 剪應力,單位:,與面力相同,MPa (兆帕),應力關于坐標連續(xù)分布的,,斜截面上的應力,

4、斜截面上的總應力斜截面上的正應力和剪應力,平面應力狀態(tài),主應力與應力主向最大剪應力,,,,,摩爾應力圓,x面的應力：,y面的應力：,z面的應力：,1－2 三維應力狀態(tài),用矩陣表示：,其中，只有6個量獨立。,,剪應力互等定理,應力符號的意義：,,第1個下標 x 表示τ所在面的法線方向；,第2個下標 y 表示τ的方向.,應力正負號的規(guī)定：,,正應力—— 拉為正，壓為負。,剪應力—— 坐標正面上，與坐標正向一致時為正；,坐標

5、負面上，與坐標正向相反時為正。,與材力中剪應力τ正負號規(guī)定的區(qū)別：,,規(guī)定使得單元體順時轉的剪應力τ為正，反之為負。,在用應力莫爾圓時必須用此規(guī)定求解問題,四面體受力圖,在某點處取出一無限小四面體。它的三個面分別與x、y、z三個軸相垂直。另一面即為任意傾斜面，其法線為v，其方向余弦為l、m、n。,,pv,,利用力的平衡條件，可得任意斜截面上的應力pv作用于任一斜截面上的應力向量分量可以用作用在與坐標軸垂直的三個面上的應力向量

6、分量來表示。上式可作為力的邊界條件的表達式。,,,1－3 三維應力狀態(tài)的主應力,在過任一點所作任意方向的單元面積上都有正應力和剪應力。如果在某一方向剪應力為零，則此方向即稱為主方向（應力主向），而這時在該面上的正應力便稱為主應力。如果v方向為主應力平面的方向，則有pvx = ?x l，pvy ＝?y m，pvz = ?z n，則得 幾何關系,l,m,n不能同時為零，因此前式為包括三個未知量l,m,n的線性齊次方程。若有

7、非零解，則此方程組的系數(shù)行列式應當?shù)扔诹悖凑归_行列式得到 其中,,,,,I1、I2、I3不隨坐標方向不同而變，稱為應力張量不變量，分別稱為應力張量第一（一次）不變量、第二（二次）不變量與第三（三次）不變量。 解一元三次方程，得三個主應力?1, ?2, ?3。 I1、I2、I3可用主應力表示如下：求解主應力時，先求出各應力張量不變量，再解一元三次方程。,,【例】已知一點的應力狀態(tài)由如下應力分量確定，即試求主

8、應力的值?！窘狻壳蟾鲬埩坎蛔兞?，I1 = 3，I2= -6，I3 = -8，代入一元三次方程得解得,,,,斜截面上的正應力和剪應力,設斜截面上的正應力為?v , 則由投影可得若三個坐標軸的方向為主方向，且主應力大小順序按x, y, z排列，則總應力為斜截面上的剪應力為,,,,,,三維應力圓,三維應力狀態(tài)下任意斜截面上的正應力和剪應力，在以三個主應力組成的應力圓所圍成的陰影的范圍之內。最大剪應力等于最大和最小

9、正應力值之差的一半。,1－4 最大剪應力,主應力平面上的剪應力為零；最大剪應力位于坐標軸分角面上，而三個最大剪應力分別等于三個主應力兩兩之差的一半。,,在主應力坐標系中（1, 2, 3分別代表?1, ?2, ?3）主應力與最大剪應力作用面及其方向余弦,1-5 等傾面上的正應力和剪應力,等傾面就是和三個主應力軸成相同角度（54?44'）的面，等傾面的法線方向也與三個主應力軸成相同的角度。法線v為空間對角線，也稱為等傾線。等傾面

10、法線的方向余弦l, m, n可由下式確定則等傾面上的正應力和剪應力,,,,,,,主應力空間：以三個主應力為軸而組成的笛卡兒坐標系,若將?1, ?2, ?3軸在等傾面上投影，則在等傾面上可以得到互相成120?角的三個坐標軸。,,等傾面及其上應力,,?,向量 在等傾線上的投影 ?0向量 在等傾面上的投影 ?0?0與軸?1在等傾面上的投影之間的夾角????稱為應力狀態(tài)的特征角，cos??為應力形式指數(shù)。,等傾面

11、上一點的應力狀態(tài),,,,偏平面,如果等傾面上的正應力?0= 0，？？如果?0= 0，等傾面過原點，則此等傾面稱為?平面。?平面上沒有正應力，只有剪應力，只有應力偏張量，所以?平面又叫偏平面。,應力強度 或廣義剪應力,,?0 為平均應力或靜水壓力，只引起物體體積的變化，?i 或?0只引起物體形狀的變化，?? 與應力狀態(tài)有關。,應力偏量分量、主應力用應力強度、平均應力與應力狀態(tài)狀態(tài)角表示,應力偏量

12、 主應力 s1+s2+s3 = 0 ?1+?2+?3 = 3?0,應力星圓,應力星圓是以距原點O為?0的一點為圓心，以2?i / 3為半徑所畫的圓。由圓心O?點開始作與軸O?成?? 角的直線，則此直線與圓的交點在O? 軸上的投影即為?1。由O?A線順時針旋轉120?作一直線，此直線與圓的交點在? 軸上的投影即為?2。而由O?A線順時針旋轉240?所

13、作的直線與圓的交點在? 軸上的投影即為?3。,,應力星圓,應力狀態(tài)與應力星圓,【例】已知應力狀態(tài)為：?1=150MPa, ?2=50MPa, ?3= -50MPa，試畫出應力星圓?！窘狻??0 = (150+50-50)/3 = 50MPa 故，?? = 30?。,,,應力星圓,最大剪應力用?i 和??表示,應力星圓,剪應力?2的絕對值最大。,1-6

14、應力羅德參數(shù)與應力羅德角,在? 平面上建立直角坐標系Oxy，取y軸方向與?2軸在? 平面上投影2? 一致。矢量Op在坐標軸1?上的投影長度為O?p1? = ?1，在2?上的投影長度為O?p2?= ?2，在3?上的投影長度為O?p3? = ?3。 矢量Op與x軸夾角為應力羅德角??。,,,應力羅德參數(shù)與應力羅德角和應力狀態(tài)特征角的關系,,,,,??,r?,,r?,應力羅德參數(shù)與應力羅德角,,,應力羅德角

15、,應力羅德參數(shù),,??——洛德角，? 平面上的剪應力?? 與2?軸的垂線間的夾角；??——洛德參數(shù)， 。,應力羅德參數(shù),-30? ? ?? ? 30? -1 ? ?? ? 1,,應力狀態(tài)與應力羅德角,【例】已知一點的主應力?1 ＝3?2 ＝3?3，試求該點的應力形式指數(shù)cos??、應力羅德參數(shù)??、應力狀態(tài)特征角??、應力羅德角??，并在?平面（等傾面）上畫出兩個角度

16、之間的關系。,,,,,,,,如果?1 ＝3?3，?2 ＝2?3，則,?1 ＝3?2 ＝3?3,1-7 應力張量的分解,一點的應力狀態(tài)可以用6個應力分量來表示，在給定的受力情況下，各應力分量的大小與坐標軸的方向有關，而它們作為一個整體用來表示一點應力狀態(tài)的這一物理量（稱為應力張量）則與坐標的選擇無關。所謂張量是指在坐標變換時，按某種指定形式變化的量。張量的分量隨坐標的變換而變化。應力張量是二階張量。應力張量是二階對稱張量。,,,,,應力