青島大學(xué)2015考研真題816高等代數(shù)

1、1青島大學(xué)2015年碩士研究生入學(xué)考試試題科目代碼：816；科目名稱：高等代數(shù)（共2頁(yè)）請(qǐng)考生寫明題號(hào)，將答案全部答在答題紙上，答在試卷上無(wú)效一、（15分）求下行列式的值12322221231111123111122223333nnnnnnnnaaaaDaaaaanananan?????????????????.二、（15分）求一個(gè)次數(shù)最低且首項(xiàng)系數(shù)為1的多項(xiàng)式()fx，使得()fx同時(shí)滿足兩個(gè)條件：（1）21x?整除()fx；（2）3

2、21xx??整除()1fx?.三、（15分）證明：向量組12m???線性無(wú)關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)向量組11212m??????????線性無(wú)關(guān).四、（15分）討論當(dāng)a取何值時(shí)，線性方程組322axyzaxayzxyaz?????????????????無(wú)解？有唯一解？有無(wú)窮多解？有解時(shí)求其解.五、（15分）設(shè)A是n級(jí)方陣且2AE?，其中E表示n級(jí)單位矩陣，證明:()()RAERAEn????其中()RA表示矩陣A的秩.六、（15分）設(shè)3級(jí)方陣A的三

3、個(gè)特征值為123221???????，對(duì)應(yīng)于123???的三個(gè)特征向量分別為123011111110????????????????????????????????????求矩陣A.七、（15分）設(shè)V是實(shí)數(shù)域上所有形如0aab???????的矩陣構(gòu)成的集合，即0aVabab????????????????，（1）驗(yàn)證V關(guān)于矩陣的加法和數(shù)與矩陣乘法構(gòu)成實(shí)數(shù)域上一個(gè)線性空間；（2）求V的一組基和維數(shù).2八、（15分）設(shè)二次型11231232

4、3102()()213015xfxxxxxxtxx??????????????????????，（1）寫出二次型f的矩陣；（2）設(shè)f是正定二次型，確定t的取值.九、（15分）設(shè)T是n維線性空間V的一個(gè)線性變換，V??是一個(gè)非零向量，設(shè)10nT???但0nT??，（1）證明21nTTT?????是V的一組基；（2）求T在基21nTTT?????下的矩陣.十、（15分）設(shè)A是一個(gè)n級(jí)實(shí)對(duì)稱矩陣且2AA?，證明：存在正交矩陣Q使得11100Q