導(dǎo)體表面電荷分布與導(dǎo)體表面曲率關(guān)系

1、導(dǎo)體表面電荷分布與導(dǎo)體表面曲率的關(guān)系導(dǎo)體表面電荷分布與導(dǎo)體表面曲率的關(guān)系（1）靜電平衡條件下導(dǎo)體表面的電荷分布是一個(gè)復(fù)雜的靜電學(xué)問(wèn)題。它不僅與導(dǎo)體表面的曲率有關(guān)。而且與導(dǎo)體本身的形狀、周?chē)鷮?dǎo)體和介質(zhì)的分布及帶電狀態(tài)有關(guān)。一般情況下對(duì)孤立導(dǎo)體它也不是與曲率有簡(jiǎn)單正比關(guān)系。下面我們通過(guò)帶電旋轉(zhuǎn)橢球形導(dǎo)體的例子加以說(shuō)明。橢球面的數(shù)學(xué)表達(dá)式是比較簡(jiǎn)單的，當(dāng)它的三個(gè)半軸相等時(shí)，它就變成球；細(xì)長(zhǎng)的橢圓繞長(zhǎng)軸旋轉(zhuǎn)而成的橢球就相當(dāng)于細(xì)長(zhǎng)棒；細(xì)長(zhǎng)橢圓繞短

2、鈾旋轉(zhuǎn)時(shí)形成的橢球就相當(dāng)于平板，因此研究橢球帶電的電荷分布，有較普遍的意義。無(wú)論什么形狀的導(dǎo)體決定電荷平衡分布的唯—條件是導(dǎo)體內(nèi)部各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)必須為零。凡是能滿足這個(gè)條件的分布，便是實(shí)際存在的分布。根據(jù)這個(gè)條件，以及靜電場(chǎng)的基本性質(zhì)求解橢球上的電荷分布，是一個(gè)典型的電磁學(xué)問(wèn)題要用到較復(fù)雜的數(shù)學(xué)工具，本書(shū)不嚴(yán)格處理這一問(wèn)題。這里用一個(gè)不夠嚴(yán)格的方法導(dǎo)出其結(jié)果。假?zèng)]我們考慮的是一個(gè)旋轉(zhuǎn)橢球如圖9.8所示，它有兩個(gè)焦點(diǎn)O1和O2。表面電荷的分布

3、使橢球內(nèi)任一點(diǎn)的合場(chǎng)強(qiáng)為零。一般說(shuō)來(lái)，這是表面所有的電荷綜合抵消的結(jié)果。但是對(duì)于焦點(diǎn)O1和O2，很巧，這種抵消是一對(duì)一的。過(guò)焦點(diǎn)O1作一個(gè)小立體角，它在橢球表面上切出兩塊表面dS和dS2，嚴(yán)格的理論證明，dS上的電荷在O1產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)與O2上的電荷在O1產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)恰恰抵消，因此整個(gè)橢球面上的電荷在O1產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)之和為零。循著這一途徑，便可找出表面電荷分布的規(guī)律。設(shè)dS處電荷密度為σ1，距O1的距離為r1，dS上的電量dq1=dSσ1，這部

4、分電荷在O1產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)dE1應(yīng)為：而dS=dScosα1。α1是r1與dS2表面法線n1間的夾角。同時(shí)，dΩ1是dS1對(duì)O1所張的立體角。因此有：用同樣的方法，可以得到dS2在O1產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)dE2為：dl是橢圓上的一段弧長(zhǎng)，經(jīng)過(guò)計(jì)算可知K并不簡(jiǎn)單地與cosα成正比，因此，α也不是簡(jiǎn)單地與K成正比，它們之間是一個(gè)很復(fù)雜的函數(shù)關(guān)系。曲率大的地方電荷密度大只能說(shuō)是一個(gè)大致的、定性的規(guī)律，不能簡(jiǎn)單地依據(jù)兩處的曲率來(lái)比較它們的電荷密度。（2）狐立

5、導(dǎo)體表面能否出現(xiàn)電荷異號(hào)面一個(gè)孤立導(dǎo)體的表面會(huì)不會(huì)出現(xiàn)異號(hào)的面電荷分布呢例如，如圖9.10所示導(dǎo)體中凹陷進(jìn)去的地方的曲率為負(fù)值，會(huì)不會(huì)出現(xiàn)異號(hào)面荷分布。結(jié)論是不可能。對(duì)此可以借助電力線用反證法證明。設(shè)圖中導(dǎo)體帶有凈正電荷，假如在凹陷處出現(xiàn)負(fù)面電荷分布，則該處要會(huì)聚電力線。會(huì)聚于凹陷處的電力線只有兩個(gè)可能的來(lái)源：一種可能是來(lái)自無(wú)窮遠(yuǎn)處，一種可能來(lái)自導(dǎo)體上的正電荷。假設(shè)無(wú)窮遠(yuǎn)處為零電勢(shì)點(diǎn)，對(duì)來(lái)自無(wú)窮遠(yuǎn)處的電力線，則沿此電力線求場(chǎng)強(qiáng)的線積分會(huì)