水力學(xué)第二章

1、水力學(xué),主講教師：楊慶、張陵蕾2014 年 9～12 月,FP，p，p的特性Euler平衡微分方程：靜水壓強(qiáng)與單位質(zhì)量力的關(guān)系、靜水壓強(qiáng)與力勢(shì)函數(shù)的關(guān)系帕斯卡定律（巴斯加原理）等壓面的概念與性質(zhì)僅有重力作用水體靜水壓強(qiáng)計(jì)算的基本公式pa，p，p´，pk p´ =pa + p ，pk= pa - p´測(cè)壓管原理 哪些面是等壓面？標(biāo)準(zhǔn)大氣壓、工程大氣壓、水柱高度、水銀柱高度 9

2、8 kPa = 1個(gè)工程大氣壓 = 10m水柱 = 736mm水銀柱靜水壓強(qiáng)計(jì)算公式，幾何意義，能量意義,1章內(nèi)容簡(jiǎn)要回顧,靜水壓力、靜水壓強(qiáng)分布圖作用在平面上的靜水總壓力的大小、方向及作用點(diǎn)作用在二向曲面上的靜水總壓力？作用在二向曲面上的靜水總壓力的水平分力的大小、方向與作用線？作用在二向曲面上的靜水總壓力的垂直分力的大小、方向與作用線？壓力體的邊界組成作用在二向曲面上的靜水總壓力的大小、方向、作用線,1章內(nèi)容簡(jiǎn)要回顧,

3、2,液體運(yùn)動(dòng)的流束理論,本章學(xué)習(xí)基本要求,前言,實(shí)際工程中經(jīng)常遇到運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的液體。液體的運(yùn)動(dòng)特性可用流速、加速度等一些物理量，即運(yùn)動(dòng)要素來(lái)表示。水動(dòng)力學(xué)研究運(yùn)動(dòng)要素隨時(shí)空的變化情況，建立它們之間的關(guān)系式，并用這些關(guān)系式解決工程上的問(wèn)題。液體做機(jī)械運(yùn)動(dòng)遵循物理學(xué)及力學(xué)中的質(zhì)量守恒定律、能量守恒定律及動(dòng)量定律。,,目錄,2.1.1 拉格朗日法拉格朗日法 以研究個(gè)別液體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)為基礎(chǔ)，通過(guò)對(duì)每個(gè)液體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的研究來(lái)獲得整個(gè)液體運(yùn)

4、動(dòng)的規(guī)律性。所以這種方法又稱質(zhì)點(diǎn)系法。,液體質(zhì)點(diǎn) 是指具有無(wú)限小的體積的液體質(zhì)量，既不是液體分子，也不同于數(shù)學(xué)上的空間點(diǎn)（數(shù)學(xué)空間點(diǎn)既無(wú)大小也無(wú)質(zhì)量）。液體質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于所研究的宏觀運(yùn)動(dòng)而言小得類似一個(gè)點(diǎn)，但包含有眾多液體分子。,2.1 描述液體運(yùn)動(dòng)的兩種方法,運(yùn)動(dòng)軌跡,質(zhì)點(diǎn)速度,令質(zhì)點(diǎn) M 在 t0 時(shí)刻的空間坐標(biāo)為 (a, b, c)，任意時(shí)刻 t 的空間坐標(biāo)為 (x, y, z)，則有：,同理可得出質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的加速度。,由于液體的易變

5、形性，每個(gè)液體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)要素都隨時(shí)間連續(xù)變化，且與相鄰質(zhì)點(diǎn)有關(guān)。因此，用拉格朗日坐標(biāo)描述液體質(zhì)點(diǎn)群運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)方程將非常復(fù)雜，以致無(wú)法求解。使得這一方法的應(yīng)用受到很大限制。,2.1.2 歐拉法歐拉法 是以考察不同液體質(zhì)點(diǎn)通過(guò)固定的空間點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況來(lái)了解整個(gè)流動(dòng)空間的流動(dòng)情況，即著眼于研究各種運(yùn)動(dòng)要素的分布場(chǎng)，所以這種方法又叫做流場(chǎng)法。歐拉法著眼于空間點(diǎn)，將液體運(yùn)動(dòng)要素表示為空間位置和時(shí)間的連續(xù)函數(shù)。令任意時(shí)刻 t 任意空間點(diǎn) (x,

6、 y, z) 上液體質(zhì)點(diǎn)的流速為 ux, uy, uz，則有：,2.1 描述液體運(yùn)動(dòng)的兩種方法,若令 t 為常數(shù)，x，y，z為變數(shù)，則可求得在同一時(shí)刻，通過(guò)不同空間點(diǎn)上的液體質(zhì)點(diǎn)的流速的分布情況（即流速場(chǎng)）。,若令上式中 x，y，z 為常數(shù)，t 為變數(shù)，即可求得在某一固定空間點(diǎn)上液體質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻通過(guò)該點(diǎn)的流速的變化情況。,同一液體質(zhì)點(diǎn)，經(jīng)過(guò)時(shí)間 dt 從某一空間點(diǎn)移動(dòng)到另一點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)的流速和空間位置(x, y, z) 都是時(shí)間 t 的

7、函數(shù),其它運(yùn)動(dòng)要素也可類似地表示為空間坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)。,2.1 描述液體運(yùn)動(dòng)的兩種方法,2.2 液體運(yùn)動(dòng)的一些基本概念,2.2.1 恒定流與非恒定流,恒定流時(shí)，所有的運(yùn)動(dòng)要素對(duì)于時(shí)間的偏導(dǎo)數(shù)應(yīng)等于零：,天然河流中的洪水，是典型的非恒定流。工程實(shí)踐中，對(duì)于運(yùn)動(dòng)要素隨時(shí)間變化較小的流動(dòng)，常簡(jiǎn)化成恒定流，以方便求解。,2.2 液體運(yùn)動(dòng)的一些基本概念,2.2.2 流線與跡線,,跡線：,某一液體質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，不同時(shí)刻所流經(jīng)的空間點(diǎn)而

8、連成的線稱為跡線，即液體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)所走過(guò)的軌跡線。,流線：是某一瞬時(shí)在流場(chǎng)中繪出的一條光滑曲線，在該曲線 上所有各點(diǎn)的速度向量都與該曲線相切。,drawing flow line,2.2 液體運(yùn)動(dòng)的一些基本概念,2.2 液體運(yùn)動(dòng)的一些基本概念,2.2.3.1 流管在水流中任意一微分面積 d A ，通過(guò)該面積的周界上的每一個(gè)點(diǎn)，均可作一根流線，這樣就構(gòu)成一個(gè)封閉的管狀曲面，稱為流管。,2.2.3 微小

9、流束與總流,2.2.3.2 微小流束充滿以流管為邊界的一束液流，稱為微小流束。微小流束的性質(zhì)：微小流束內(nèi)外液體不會(huì)發(fā)生交換； 恒定流微小流束的形狀和位置不會(huì)隨時(shí)間而改變，非恒定流時(shí)將隨時(shí)間改變； 橫斷面上各點(diǎn)的流速和壓強(qiáng)可看作是相等的。 (因?yàn)槲⑿?,2.2 液體運(yùn)動(dòng)的一些基本概念,2.2.3.3 總流任何一個(gè)實(shí)際水流都具有一定規(guī)模的邊界，這種有一定大小尺寸的實(shí)際水流稱為總流?？偭骺梢钥醋魇怯蔁o(wú)限多

10、個(gè)微小流束所組成。,2.2 液體運(yùn)動(dòng)的一些基本概念,2.2.3.4 過(guò)水?dāng)嗝媾c微小流束或總流的流線成正交的橫斷面稱為過(guò)水?dāng)嗝?。該面積 dA 或 A 稱為過(guò)水?dāng)嗝婷娣e，單位 m2。注意：過(guò)水?dāng)嗝婵蔀槠矫嬉部蔀榍妗?2.2 液體運(yùn)動(dòng)的一些基本概念,2.2.3.5 流量單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)某一過(guò)水?dāng)嗝娴囊后w體積稱為流量。流量常用的單位為 m3/s，用符號(hào) Q 表示。微小流束流量總流流量,2.2 液體運(yùn)動(dòng)的一些基本概念,2.

11、2.3.6 斷面平均流速總流過(guò)水?dāng)嗝嫔系钠骄魉?v ，是一個(gè)想象的流速，如果過(guò)水?dāng)嗝嫔细鼽c(diǎn)的流速都相等并等于 v ，此時(shí)所通過(guò)的流量與實(shí)際上流速為不均勻分布時(shí)所通過(guò)的流量相等，則流速 v 就稱為斷面平均流速。由此可見(jiàn)，通過(guò)總流過(guò)水?dāng)嗝娴牧髁康扔跀嗝嫫骄魉倥c過(guò)水?dāng)嗝婷娣e的乘積，也即過(guò)水?dāng)嗝嫔细鼽c(diǎn)水流均以同一平均流速運(yùn)動(dòng)。引入斷面平均流速的概念，可以使水流運(yùn)動(dòng)的分析得到簡(jiǎn)化。,2.2 液體運(yùn)動(dòng)的一些基本概念,若水流中任一點(diǎn)

12、的運(yùn)動(dòng)要素只與一個(gè)空間自變量有關(guān)，這種水流稱為一元流或一維流動(dòng)（1D）。流場(chǎng)中任何點(diǎn)的流速和兩個(gè)空間自變量有關(guān)，此種水流稱為二元流或二維流動(dòng)（2D） 。若水流中任一點(diǎn)的流速，與三個(gè)空間位置變量有關(guān)，這種水流稱為三元流或三維流動(dòng)（3D） 。微小流束為一元流；過(guò)水?dāng)嗝嫔细鼽c(diǎn)的流速用斷面平均流速代替的總流也可視為一元流；寬直矩形明渠為二元流；大部分水流的運(yùn)動(dòng)為三元流。,2.2 液體運(yùn)動(dòng)的一些基本概念,2.2.4 一元流、二元流、

13、三元流,液流運(yùn)動(dòng)過(guò)程中遵循質(zhì)量守恒定律，連續(xù)性方程是質(zhì)量守恒定律的一種特殊方式。,根據(jù)質(zhì)量守恒定律在 dt 時(shí)段內(nèi)流入的質(zhì)量應(yīng)與流出的質(zhì)量相等。,取恒定流中微小流束，對(duì)不可壓縮的連續(xù)介質(zhì)，有,2.3 恒定總流的連續(xù)性方程,不可壓縮液體恒定一元流微小流束的連續(xù)性方程為,對(duì)總流過(guò)水?dāng)嗝娣e分得,即為恒定總流的連續(xù)性方程。,變形可得,上式表明在不可壓縮液體恒定總流中，任意兩個(gè)過(guò)水?dāng)嗝嫫骄魉俚拇笮∨c過(guò)水?dāng)嗝婷娣e成反比，斷面大的地方流速小，斷面

14、小的地方流速大。,連續(xù)性方程總結(jié)和反映了水流的過(guò)水?dāng)嗝婷娣e與斷面平均流速沿流程變化的規(guī)律。,例題 一三通管如圖所示，其中兩支管直徑d1=15cm，d2=20cm，已知主管流量Q=0.14m3/s，兩支管的斷面平均流速相等，求兩支管的流量Q1和Q2。,2.4.1 理想液體恒定流微小流束的能量方程連續(xù)性方程說(shuō)明了流速與過(guò)水?dāng)嗝娴年P(guān)系，是運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。水流能量方程則是從動(dòng)力學(xué)的觀點(diǎn)討論水流各運(yùn)動(dòng)要素之間的關(guān)系，是能量守恒定律在水流

15、運(yùn)動(dòng)中的具體表現(xiàn)。首先討論理想液體恒定流微小流束的受力關(guān)系。,2.4 恒定總流的能量方程,在理想液體恒定流中取一微小流束，并截取1-1和2-2斷面間的長(zhǎng)為 ds ，斷面面積為 dA 的微分流段進(jìn)行研究。微分流段受到的外力有：重力、動(dòng)水壓力,對(duì)微分流段沿 s 方向應(yīng)用牛頓第二定律，有,1-1斷面動(dòng)水壓力：,2-2斷面動(dòng)水壓力：,重力沿 s 方向分力為：,由于沿微小流束的運(yùn)動(dòng)是一元流，流速僅與流程坐標(biāo)有關(guān)，故有,代入上式并整理可

16、得：,將上式沿流程 s 積分得：,對(duì)微小流束上的任意兩個(gè)過(guò)水?dāng)嗝嬗校?𝑧 為液體中某一點(diǎn)處的幾何高度，單位重量液體的位能； 𝑝 𝜌𝑔 代表單位重量液體的壓能； 𝑢 2 2𝑔 為該質(zhì)點(diǎn)單位重量液體所具有的動(dòng)能。,上式表明：在理想液體恒定流情況下，微小流束內(nèi)不同的過(guò)水?dāng)嗝嫔?，單位重量液體所具有的機(jī)械能保持相等。,上式即為理想液體恒定流

17、微小流束的能量方程，又稱伯努利（Bernoulli）方程。,在恒定總流中任取一微小流束進(jìn)行研究。微小流束兩端的過(guò)水?dāng)嗝娣謩e是 1-1、2-2，其面積分別是 dA1、dA2，面積形心至基準(zhǔn)面的高程分別是 z1、z2。兩個(gè)過(guò)水?dāng)嗝娴牧魉?u1、u2和動(dòng)水壓強(qiáng) p1、p2均為均勻分布。,動(dòng)能定律：運(yùn)動(dòng)物體在某時(shí)段內(nèi)動(dòng)能的增量，等于各外力對(duì)物體 所作功之和。即：,經(jīng)過(guò)時(shí)間 dt，微小流束從位置1-1至2

18、-2運(yùn)動(dòng)到新位置 1´-1´至2´-2´。微小流束動(dòng)能的變化量為：,根據(jù)質(zhì)量守恒定律，流段1-1´和2-2´的質(zhì)量應(yīng)相等，即：,因此,作用在微小流束的外力有重力和動(dòng)水壓力。,重力所作的功相當(dāng)于 1-1´流段的液體移動(dòng)到 2-2´位置時(shí)的勢(shì)能變化，即：,動(dòng)水壓力所作的功為：,根據(jù)動(dòng)能定理，𝛥 𝐸 𝑘 = 

19、9882; 𝐺 + 𝑊 𝑃 ，可得：,整理可得：,上式即為理想液體恒定流微小流束的能量方程。盡管推導(dǎo)是針對(duì)微小流束應(yīng)用動(dòng)能定理進(jìn)行的，但由于在初始時(shí)刻微小流束和控制體積重合，而液體又是恒定流，因此式中的各物理量就是微小流束過(guò)水?dāng)嗝嫔系闹怠?2.4 恒定總流的能量方程,2.4.2 實(shí)際液體恒定流微小流束的能量方程理想液體沒(méi)有粘滯性，無(wú)須克服內(nèi)摩擦力而消耗能量，其機(jī)械能保持不變。對(duì)實(shí)

20、際液體，令單位重量液體從斷面 1-1 流至斷面 2-2 所損失的能量為 hw´。則 1-1 斷面與 2-2 斷面間的能量守恒方程為：上式為不可壓縮實(shí)際液體恒定流微小流束的能量方程。實(shí)用中需將上述方程對(duì)總流過(guò)水?dāng)嗝娣e分，以得到總流的能量方程。但積分只能針對(duì)特殊的水流運(yùn)動(dòng)才能實(shí)現(xiàn)。,運(yùn)動(dòng)要素,拉格朗日法與歐拉法,恒定流與非恒定流,流線與跡線,流管、微小流束、總流、過(guò)水?dāng)嗝?、流量、斷面平均流?微小流束性質(zhì),為什么以斷