流體力學(xué)-第二章

1、流體靜力學(xué),電子教案,研究平衡流體的力學(xué)規(guī)律及其應(yīng)用的科學(xué)。,什么是平衡？,平衡包括兩種： 1、絕對(duì)平衡：重力場(chǎng)中的流體平衡 流體對(duì)地球無相對(duì)運(yùn)動(dòng)； 2、流體的相對(duì)平衡 流體整體對(duì)于地球有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，但流體質(zhì)點(diǎn)間無相對(duì)運(yùn)動(dòng)。,§2.1 作用在流體上的力,1. 質(zhì)量力,2. 表面力,定義：作用在流體質(zhì)點(diǎn)上，大小與流體質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量成正比的力，它

2、是非接觸力，有些教材也稱為超常力。,2.1.1 質(zhì)量力,另：除了和質(zhì)量有關(guān)的重力和慣性力，流體還可能受到其他一些非接觸力，如電場(chǎng)力和磁場(chǎng)力，這些力雖然與流體質(zhì)量無直接關(guān)系，在靜力學(xué)分析中，仍把它們稱為質(zhì)量力。,定義：作用在流體表面上，且與表面積大小成正比 的力。表面力分為兩種：一種是沿著表面內(nèi)法線方向的壓力，一種是沿著表面切向的摩擦力。 ?法向力（流體靜壓力）,2.1.2 表面力,?切向力（平衡流體?=0）,流體處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)，

3、在流體內(nèi)部或流體與固體壁面間存在的單位面積上負(fù)的法向表面力。,,,Ⅰ,Ⅱ,圖2－1,歸納兩點(diǎn)：1、平衡流體內(nèi)不存在切向應(yīng)力，表面力即為 法向應(yīng)力（即靜壓強(qiáng)）；2、絕對(duì)平衡流體所受質(zhì)量力只有重力，相對(duì) 平衡流體可能受各種質(zhì)量力的作用。,,,流體靜壓力是作用在受壓面上的總作用力矢量（具有大小、方向、作用點(diǎn)），單位符號(hào)是N，用大寫字母 來表示。它的大小和方向均與受壓面有關(guān)，方向是沿受壓面內(nèi)法線方向。,流

4、體的壓強(qiáng)則是一點(diǎn)上靜壓力的強(qiáng)度，單位符號(hào)Pa,用小寫字母p來表示。它是一個(gè)標(biāo)量，只有大小沒有方向。,流體靜壓力和流體靜壓強(qiáng)區(qū)別,1、流體靜壓強(qiáng)的方向總是沿著作用面的內(nèi)法線方向。2、流體靜壓強(qiáng)具有等值性：靜止流體內(nèi)部任意一點(diǎn)的流體靜壓強(qiáng)在各方向等值，即 故平衡流體內(nèi)任一點(diǎn)處的靜壓強(qiáng)的數(shù)值與其作用面的方向無關(guān)，它只是該點(diǎn)空間坐標(biāo)的函數(shù)。證明：在平衡流體中取出一微小四面體ABOC，考察其在外力作用下的平衡條件。,,,,流體靜壓強(qiáng)兩個(gè)重

5、要特性,表面力,各個(gè)面上的靜壓力,?ABC — 斜面面積,,,,質(zhì)量力若,則：,,質(zhì)量力在三個(gè)坐標(biāo)方向上的投影,,, x 方向上的力平衡方程式（?Fx= 0）px1/2dydz ? pn · ?ABC·cos(n,^x) + ?1/6dxdydz fx = 0因?ABC·cos(n,^x) = 1/2dydz (?ABC在yoz平面上

6、 的投影)則： 1/2dydz ( px – pn ) + ?/6·dxdydz fx = 0 略去三階微量 dxdydz.可得： px = pn,,,同理： 在 y 方向上有

7、 py = pn 在 z 方向上有 pz = pn則有： px = py = pz = pn即：平衡流體中某點(diǎn)處所受的靜壓強(qiáng)是各向同 性的。 靜壓強(qiáng)是一個(gè)標(biāo)量。其大小由該點(diǎn)所處的空間位置決定。 p = p ( x、y、z ),,,§2.2流體平衡微分方程式,2.2.1

8、 流體平衡微分方程式的導(dǎo)出,從靜止流體中取出一個(gè)邊長為dx、dy、dz的微元平行六面體，對(duì)其進(jìn)行受力分析。,流體平衡微分方程導(dǎo)出示意圖,1、質(zhì)量力dFmx = ?dxdydz fxdFmy = ?dxdydz fydFmz = ?dxdydz fz,,,分析微小正平行六面體微團(tuán)受力：,2、表面力先討論沿 x 軸方向的表面力。形心A( x、y、z ) 處的靜壓強(qiáng)為pA( x、y、z )距A點(diǎn) x 軸方向上 ?1/2dx 處的前

9、、后兩個(gè)面上的表面力分別為：,,,,由于微元六面體處于平衡狀態(tài)，故在X方向有：化簡，得同理可求得y、z方向的平衡方程。,,,流體平衡微分方程式（歐拉平衡方程式 ）,矢量形式：方程物理意義：在靜止流體中，作用在單位質(zhì)量流體上的 質(zhì)量力與作用在該流體表面上的表面力相互平衡。,歐拉平衡方程是平衡流體中普遍適用的一個(gè)基本公式，因?yàn)樵谕茖?dǎo)過程中，質(zhì)量力是空間任意方向，故它既適應(yīng)于絕對(duì)靜止，也適于相對(duì)靜止。同時(shí)推導(dǎo)過程中也

10、不涉及流體的密度是否發(fā)生變化，故它不僅適應(yīng)于不可壓縮流體，也適于可壓縮流體。流體靜力學(xué)的一切其它計(jì)算公式都是以它為基礎(chǔ)面推導(dǎo)出來的。,,2.2.2 歐拉平衡方程式的綜合形式,,靜壓強(qiáng)的全微分,◆ 質(zhì)量力的勢(shì)函數(shù),,,,,,有,結(jié)論：只有在有勢(shì)的質(zhì)量力作用下，不可壓縮流體才能處 于平衡狀態(tài)。,2.2.3 等壓面,1、流體中壓強(qiáng)相等的點(diǎn)組成的面叫等壓面。,方程：,2、等壓面的選取 （1）同種流體；

11、 （2）靜止； （3）連續(xù)。,例1：1、2、3、4各點(diǎn)是否處在一個(gè)等壓面上？各點(diǎn)壓強(qiáng)的大小關(guān)系如何。,液體與氣體的分界面，即液體的自由液面就是等壓面，其上各點(diǎn)的壓強(qiáng)等于在分界面上各點(diǎn)氣體的壓強(qiáng)。,互不摻混的兩種液體的分界面也是等壓面。,2.3.1 不可壓縮流體的靜壓強(qiáng)基本公式綜合方程：現(xiàn)故有：積分有：即： (靜壓強(qiáng)基本公式),§2.3 重力場(chǎng)中

12、的平衡流體,—— 重力作用下、連續(xù)、均質(zhì)、不可壓縮流體 的靜壓強(qiáng)基本公式（靜力學(xué)基本方程）。,,,如圖若 1、2 兩點(diǎn)是流體中的任意兩點(diǎn)，則上式可寫成 ：,Z：單位重力流體的位置勢(shì)能 ：單位重力流體壓強(qiáng)勢(shì)能物理意義：平衡流體中任意點(diǎn)的總勢(shì)能（包括位置勢(shì)能和壓強(qiáng)勢(shì)能）保持不變。使用條件：重力場(chǎng)、不可壓縮流體,（1）靜壓強(qiáng)基本方程的物理意義,單位重力流體所具有的能量也可以用液

13、柱高度來表示，并稱水頭。 Z ：位置水頭 ：壓強(qiáng)水頭,（2）靜壓強(qiáng)基本方程的幾何意義,流體的靜水頭線和計(jì)示水頭線,流體靜力學(xué)基本方程幾何意義：在重力作用下的連續(xù)均質(zhì)不可壓縮靜止流體中，靜水頭線和計(jì)示靜水頭線均為水平線。,（3）靜壓強(qiáng)分布規(guī)律,1、2兩點(diǎn)同種液體、靜止、連續(xù)，且在同一高度，是同一等壓面；（重力場(chǎng)中等壓面是水平面）2、3兩點(diǎn)不滿足連續(xù)條件，壓強(qiáng)不一定相等；3、4兩點(diǎn)不滿足同種液體條件，壓強(qiáng)不一定相等

14、；事實(shí)上，,§2.4 靜壓強(qiáng)的計(jì)算與測(cè)量,2.4.1 靜壓強(qiáng)的計(jì)算單位流體靜壓強(qiáng)的國際法定應(yīng)力單位是Pa(1 Pa =1N/m2 )， KPa, MPa 。應(yīng)力單位多用于理論計(jì)算。 工程中習(xí)慣上用如下兩種換算單位:1)液柱高單位 液柱高 液柱高度位有米水柱(mH2O)、毫米汞柱(mmHg)等, 多用于實(shí)驗(yàn)室計(jì)量 。2 )大氣壓單位 1標(biāo)準(zhǔn)大氣壓(atm)=101325Pa=76

15、0mmHg大氣壓單位多用于機(jī)械或航天行業(yè) 。,,國外：bar (巴) 1 bar = 105 Pa psi (巴斯) 1 psi = 6.89 KPa,(1)絕對(duì)壓強(qiáng)：以絕對(duì)真空為起點(diǎn)計(jì)算壓強(qiáng)大小。(2)計(jì)示壓強(qiáng)：以當(dāng)?shù)卮髿鈮簽榱阌?jì)算的壓強(qiáng)，比當(dāng)?shù)卮髿鈮捍蠖嗌俚膲簭?qiáng)，叫做計(jì)示壓強(qiáng)或表壓強(qiáng)。(3)真空度：某點(diǎn)壓強(qiáng)低于當(dāng)?shù)卮髿鈮海涞陀诋?dāng)?shù)卮髿鈮旱臄?shù)值叫真空度。,2.4.2 靜壓強(qiáng)的計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)

16、,絕對(duì)壓強(qiáng)、相對(duì)壓強(qiáng)、真空度,絕對(duì)壓強(qiáng)是以絕對(duì)真空為起點(diǎn)，其值恒大于0；相對(duì)壓強(qiáng)是以當(dāng)?shù)卮髿鈮簽槠瘘c(diǎn)，其值可正可負(fù)，也可為0.相對(duì)壓強(qiáng)又稱計(jì)示壓強(qiáng)；相對(duì)壓強(qiáng)小于0時(shí)，其數(shù)值的絕對(duì)值又稱真空度。,真空度,金屬式壓力表 —— 機(jī)械式,壓力傳感器 —— 電測(cè)法,液柱式測(cè)壓計(jì) —— 基于以靜壓強(qiáng)基本公式,,,2.4.3 靜壓強(qiáng)的測(cè)量,（1）測(cè)壓管（最簡單的液柱式測(cè)壓計(jì)）,預(yù)測(cè)量容器（管道）中某點(diǎn)A壓強(qiáng)，在容器（管道）該點(diǎn)處開一個(gè)小孔，接測(cè)壓

17、管（管內(nèi)徑一般大于5mm)，液體在壓強(qiáng)作用下升高，可測(cè)出高度h ,繼而得到A點(diǎn)的計(jì)示壓強(qiáng)。測(cè)壓管測(cè)壓計(jì)結(jié)構(gòu)簡單，測(cè)量準(zhǔn)確。但存在限制條件：1不能測(cè)氣體壓強(qiáng)；2.管內(nèi)壓強(qiáng)要大于當(dāng)?shù)卮髿鈮海?.測(cè)點(diǎn)A壓強(qiáng)不能過高；,預(yù)測(cè)量容器中氣體的真空度,容器中的真空度 P=?gh,（2）U形管測(cè)壓計(jì),(a) p+?1gh1= ?2gh2 ，則計(jì)示壓強(qiáng) p= ?2gh2 - ?1gh1(b) p+?1gh1+ ?2gh2=0 ，則真空度 p=?1

18、gh1+ ?2gh2,（3）差壓計(jì) 測(cè)量兩點(diǎn)壓差的儀器叫差壓計(jì)。,取等壓面1-1，列方程：p1+?1gh1= p2+?2gh2 +?´g?h則 p1 -p2 =?2gh2 +?´g?h- ?1gh1,常用來測(cè)量兩容器的壓強(qiáng)差或管路中兩點(diǎn)的壓強(qiáng)差。,（4）傾斜式微壓計(jì)（自己看）,測(cè)量較小壓強(qiáng)或壓強(qiáng)差的儀器叫微壓計(jì)。,實(shí)質(zhì)：應(yīng)用幾何原理測(cè)壓。,例2. 為了測(cè)量高度差為z的兩個(gè)水管中的微小壓強(qiáng)差PB-

19、PA,用頂部充有較水輕而與水不相混合的液體的倒U形管。已知A、B管中的液體相對(duì)密度d1=d3=1,倒U形管中液體相對(duì)密度d2=0.95, h1=h2=0.3m , h3=1m，試求壓強(qiáng)差PB-PA。,解：逐段采用壓強(qiáng)公式，可算出：,,[例題3] 如圖所示測(cè)定裝置，活塞直徑d=35mm，油的相對(duì)密度d油=0.92,水銀的相對(duì)密度d水銀=13.6，活塞與缸壁無泄漏和摩擦。當(dāng)活塞重為15N時(shí)，h=700mm，試計(jì)算U形管側(cè)壓計(jì)的液面高度△h

20、值。（P35 例題2.2),[例題4]如下圖所示，用雙U形管測(cè)壓計(jì)測(cè)量A、B兩點(diǎn)的壓差。已知:,§2.5 平衡流體對(duì)壁面的作用力,三峽船閘,2.5.1 作用在平面上的總壓力(水平面、垂直面、斜面),（1）左側(cè)壁面受力,（2）右側(cè)壁面受力,（3）底面受力,平面受力計(jì)算公式： ：受力面形心點(diǎn)的壓強(qiáng) ：受力面面積,1、總壓力,2、積分法求總壓力及作用點(diǎn),討論與水平成 角的平面,,,則,（1）總壓

21、力,（2）總壓力的作用點(diǎn),各微總壓力對(duì)y軸的力矩之和，等于其合力對(duì)y軸的力矩。,,,慣性矩定義,慣性矩移軸定理,總壓力作用點(diǎn)D到y(tǒng)軸垂直距離,偏距,壓力中心點(diǎn)總是低于形心點(diǎn),,曲面1,曲面2,曲面3,曲面4,曲面5,,,壓力體,壓力體,壓力體,壓力體,壓力體,,,,,,,,,,,,,,,,,,,例題5：繪出曲面壓力體圖，并標(biāo)出垂直分力的方向,例題6：如圖為一貯水容器，器壁上有三個(gè)半球形蓋，設(shè)d=0.5m，h=2m，H=2.5m。試求作用

22、在每個(gè)球蓋上的液體總壓力。,解：1、底蓋 底蓋左右兩部分曲面在鉛垂平面上的投影面積相同，故兩部分水平分力大小相等方向相反而抵消。所以液體總壓力，就等于垂直分力： F1=ρgV= ρg【πd2/4× (H+h/2) + π d3/12】 =7063（N） 由于V為實(shí)壓力體，故F1的作用方向垂直向下，且通過壓力體中心。 2、頂蓋 水平分力為零，總壓力等于垂直分力。

23、 F2=ρgV= ρg【πd2/4× (H-h/2) - π d3/12】 =2568（N） 由于V為虛壓力體，故F1的作用方向垂直向上，且通過壓力體中心。 3、側(cè)蓋 液體總壓力由垂直分力及水平分力合成，即； FZ3= ρgπ d3/12=321（N） (向下） 由于V為實(shí)壓力體，故 FZ3的方向垂直向下，且通過壓力體中心。

24、 Fy3= ρgHAy=4813（N）（這樣即可，要寫成合力的形式，則要求進(jìn)一步求出合力的方向）,例7 如圖所示一弧形閘門，半徑R=7.5m，擋著深度h=4.8m的水，其圓心角 。旋轉(zhuǎn)軸的位置距底,為H=5.8m，閘門的水平投影CB=a=2.7m，閘門的寬度b=6.4m。試求作用在閘門上的總壓力的大小。,[解] 總壓力的水平分力為,總壓力的垂直分力為,,,解題過程和答案見教材,2.5.3 作用在沉

25、沒物體上的總壓力,物體浸在液體中的位置有三種：(1)物體沉到液體底部，此時(shí)物體為沉體；(2)物體潛入液體中的任何位置，此時(shí)物體為潛體；(3)物體浮在液體上，此時(shí)物體為浮體。液體作用在潛體或浮體上的總壓力叫浮力，浮力的作用點(diǎn)叫浮心。,設(shè)有一任意形狀的物體沉沒在靜止液體中，如圖2.26所示,1、水平力左半部曲面cad與右半部曲面cbd上所受到的水平分壓力 Fy1=Fy2,因而整個(gè)潛體水平方向的流體靜壓力為零。,2、豎直力整

26、個(gè)潛體沿直方向的流體靜壓力大小為,,綜上所述，液體作用在沉沒物體（潛體）上的總壓力方向垂直向上，大小等于沉沒物體所排開的重量。該力又稱作浮力。這就是阿基米德原理。對(duì)于浮體，其浮力大小等于物體浸沒部分所排開液體的重量。,例9 有一比重計(jì)其質(zhì)量為40克，它是由體積V=15厘米3的小球和外徑d=2.5厘米的管子構(gòu)成。將其放入煤油中，已知煤油的密度為760千克/米3，求該比重計(jì)沉入煤油中的深度h.,解：根據(jù)浮力定義比重計(jì)在煤油中所

27、受的浮力為,比重計(jì)在圖示情況下平衡時(shí)，其平衡條件為,則,相對(duì)平衡流體所受的質(zhì)量力：重力 慣性力,§2-6 液體的相對(duì)平衡,除了重力場(chǎng)中的流體平衡問題以外，還有一種在工程上常見的所謂液體相對(duì)平衡問題：液體質(zhì)點(diǎn)彼此之間固然沒有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，但盛裝液體的容器或機(jī)件卻對(duì)地面上的固定坐標(biāo)系有相對(duì)運(yùn)動(dòng)。如果我們把運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)取在容器或機(jī)件

28、上，則對(duì)于這種所謂的非慣性坐標(biāo)系來說，液體就成為相對(duì)平衡了。,,,工程上常見的流體的相對(duì)平衡有兩種： 1、作勻加速直線運(yùn)動(dòng)容器中的液體； 2、作等角速旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)容器中的液體。,§ 2.6.1 恒加速度直線運(yùn)動(dòng),邊界條件:,等壓面上,Euler 平衡方程,得,則,有,結(jié)論：等加速水平運(yùn)動(dòng)容器中的液體等壓面是一組傾斜面。,例題：裝有7cm深水的容器， 1、當(dāng)以 ax=7m/s2旋轉(zhuǎn)時(shí)，水是否能否溢出？

29、 2、計(jì)算A點(diǎn)壓強(qiáng)。,,It will not spill out !,§ 2.6.2 剛體旋轉(zhuǎn),結(jié)論：等壓面是一組拋物面,等壓面,討論作等角速旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)容器內(nèi)液體的相對(duì)平衡。,如圖，盛有液體的圓柱形容器繞鉛垂軸 z 以角速度ω作旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，液體被甩向外周。 當(dāng)旋轉(zhuǎn)角速度ω穩(wěn)定不變時(shí)，液體形成如圖所示的自由表面，液體質(zhì)點(diǎn)之間不再有相對(duì)運(yùn)動(dòng),液體連同容器作整體回轉(zhuǎn)。如果將運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系固結(jié)在回轉(zhuǎn)容器上,且

30、坐標(biāo)原點(diǎn)取在自由液面的最低點(diǎn)，則液體對(duì)運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系形成相對(duì)平衡。,,容器作等角速回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng),下面討論其靜壓強(qiáng)分布規(guī)律和等壓面方程。 單位質(zhì)量力 單位質(zhì)量液體所受質(zhì)量力的各分量為： fx = ω2 r cosθ= ω2x fy = ω2 r sinθ = ω2y fz = ? g 式中：r 流體質(zhì)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)軸

31、的距離； x、y r 在兩水平坐標(biāo)軸上的投影。,此時(shí)作用在液體上的質(zhì)量力有兩種： 重力 △W = △mg 虛構(gòu)的離心慣性力 △F = △mω2 r （方向與向心加速度的方向相反）,,,,,將各單位質(zhì)量力的分量代入等壓面微分方程式，可得： ω

32、2 x dx + ω2 y dy ? g dz = 0,作不定積分得：,一、等壓面方程 在等壓面上 p = C 則 dp = 0 由平衡微分方程式的綜合表達(dá)式可得等壓面微分方程式： fxdx + fydy + fzdz = 0,,,或:,自由表面方程： 在自由表面上，當(dāng) r = 0 時(shí)，z = 0，可得積分常數(shù) C = 0，故自由表面方程為：,,,,或:,等角速旋轉(zhuǎn)容器中

33、液體的等壓面方程,可見等壓面是一簇繞 z 軸的旋轉(zhuǎn)拋物面。,,,,,則,在Oxy 坐標(biāo)平面以上的旋轉(zhuǎn)拋物體內(nèi)的液體體積為,,,上式說明,圓柱形容器中的旋轉(zhuǎn)拋物體的體積,恰好是高度為最大超高的圓柱形體積之半。,,,,二、靜壓強(qiáng)分布規(guī)律 將前述單位質(zhì)量力的各坐標(biāo)分量代入平衡微分方程式的綜合表達(dá)式中， 得： dp =ρ(ω2 x dx +ω2 y dy – g dz),,,,,作不定積分，則,

34、由邊界條件：當(dāng) r = 0 時(shí)，z = 0 ； p = p0,,,,可見：等角速旋轉(zhuǎn)容器中液體的靜壓強(qiáng)分布規(guī)律與重力作用下靜止液體中的靜壓強(qiáng)分布規(guī)律形式完全相同。,,,小 結(jié),流體靜力學(xué)主要研究流體在靜止?fàn)顟B(tài)下的力學(xué)規(guī)律。靜止流體中粘性不起作用，表面力只有壓應(yīng)力。所以流體靜力學(xué)的核心問題是以壓強(qiáng)為中心，主要闡述流體靜壓強(qiáng)的特性、歐拉平衡微分方程、靜壓強(qiáng)的分布規(guī)律、作用在平面壁或曲面壁上的靜壓力的計(jì)算方法等。,掌握以下基

35、本概念：絕對(duì)壓強(qiáng)、相對(duì)壓強(qiáng)、真空度、測(cè)壓管水頭、壓力體。,掌握靜壓強(qiáng)的兩個(gè)重要特性,掌握并熟練運(yùn)用靜力學(xué)基本方程、靜壓強(qiáng)分布規(guī)律（重力作用下），理解其物理意義，,掌握并能運(yùn)用歐拉平衡微分方程及其綜合表達(dá)式，理解其物理意義，,掌握作用在平面壁和曲面壁上的靜壓力的計(jì)算方法。,2-2 2-5 2-9 2-14 2-16 2-22 2-30 2-33 2-34 2-38(紅筆標(biāo)志的是作業(yè)）,,,課后習(xí)