第4章 模擬結(jié)果的統(tǒng)計分析

1、4.1 引言4.2 模擬結(jié)果統(tǒng)計分析面臨的問題4.3 終態(tài)模擬的輸出分析4.4 穩(wěn)態(tài)模擬的輸出分析4.5 多方案模擬輸出的比較,第4章 模擬結(jié)果的統(tǒng)計分析,什么是輸出分析？為什么要進行輸出分析？輸出分析的兩種狀態(tài),確定的輸入激勵一個確定的系統(tǒng)，得到的輸出就是一個確定的輸出。通過一次確定的模擬便可得出解。,隨機的輸入激勵一個隨機的系統(tǒng)，得到的輸出是……? 輸出的表達形式如何？ 需要經(jīng)過多少次的模擬才能說明輸出結(jié)果？,

2、輸出分析的目的在于預(yù)測一個系統(tǒng)的性能，或比較兩個或多個不同系統(tǒng)設(shè)計的性能。估計系統(tǒng)的性能參數(shù)，以及性能參數(shù)估計的有效范圍。用模擬統(tǒng)計得到的?‘作為觀察值的估計量。統(tǒng)計得到的方差S2 就是估計量的偏差范圍?；虼_定出達到給定精度所需的觀察次數(shù)。,在離散事件模擬中，大多數(shù)模擬輸出數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出自相關(guān)的特征，即：前面的輸出往往會影響到后面的輸出數(shù)據(jù)。如：庫存系統(tǒng)中的初期庫存、生產(chǎn)系統(tǒng)中的初始狀態(tài)、排隊系統(tǒng)中初始排隊狀態(tài)和初始服務(wù)狀態(tài)等。,4.1

3、引言,4.1 引言-輸出狀態(tài),終態(tài)模擬就是指在某個持續(xù)時間TE之內(nèi)系統(tǒng)的模擬，這里E是停止模擬的一個指定的事件，這樣被模擬系統(tǒng)在指定初始條件下于時刻0“打開”，并在停止時刻TE“閉合”。終態(tài)系統(tǒng)常被用來研究系統(tǒng)的固有特性，研究系統(tǒng)在初始條件作用下的響應(yīng)。,非終態(tài)系統(tǒng)是指系統(tǒng)在持續(xù)循環(huán)運行時間內(nèi)，前一時間結(jié)束的模擬結(jié)果影響到后一時間的模擬條件。非終態(tài)系統(tǒng)是連續(xù)運行的系統(tǒng)，至少在很長一段時期內(nèi)運行。穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)模擬常被用來研究系統(tǒng)對外界條件變化

4、的響應(yīng)能力。通常穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的響應(yīng)與系統(tǒng)的初始狀態(tài)無關(guān)。,暫態(tài)（終 態(tài)）穩(wěn)態(tài)（非終態(tài)）,4.1 引言-例題,選擇終態(tài)/穩(wěn)態(tài)模擬例如，考慮對企業(yè)中一條流水線進行模擬如果我們的模擬目的是為了了解該流水線從完好狀態(tài)開始到第一次出現(xiàn)故障的間隔時間的分布，那么我們就應(yīng)采用終態(tài)模擬方式；如果我們希望了解的是由該流水線生產(chǎn)的產(chǎn)品的合格率，則應(yīng)該采用非終態(tài)模擬方式。,4.1 引言-過渡狀態(tài)與穩(wěn)定狀態(tài),在模擬模型的上述兩種運行方式下，模擬

5、系統(tǒng)都可能經(jīng)歷兩種不同的狀態(tài)，即過渡狀態(tài) (Transient State) 和穩(wěn)定狀態(tài) (Steady State) 在對模擬模型的輸出進行統(tǒng)計分析時，應(yīng)該分清采樣數(shù)據(jù)是在當(dāng)模擬系統(tǒng)處于過渡狀態(tài)時采集的，還是在穩(wěn)定狀態(tài)時采集的。對于一個離散事件模擬系統(tǒng)，假設(shè)s(t)是t時刻系統(tǒng)所處的狀態(tài)，Ps(t)是在時刻t系統(tǒng)處于狀態(tài)s的概率。如果有t0滿足： 則我們稱當(dāng)t≥t0時系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)，而在t<t0系統(tǒng)處于過渡

6、狀態(tài)。 當(dāng)系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)時，系統(tǒng)處于某一個狀態(tài)的概率是不變的，但系統(tǒng)仍然可以從一個狀態(tài)變到另一個狀態(tài),,4.2 面臨的問題,由于在離散事件模擬模型中往往有許多隨機變量，從而模擬的輸出亦是隨機變量，因此直接使用模擬模型的輸出結(jié)果就有可能對實際系統(tǒng)作出錯誤的結(jié)論。 例：現(xiàn)考慮一個M/M/1排隊系統(tǒng)，此時顧客的到達間隔時間與服務(wù)員的服務(wù)時間均服從指數(shù)分布，假設(shè)到顧客達間隔時間的均值為6分鐘，服務(wù)員服務(wù)時間的均值為4分鐘。從排隊

7、論的理論分析，該排隊系統(tǒng)的平均排隊時間應(yīng)為Wq＝8分鐘。下表給出的是10次模擬的結(jié)果(每次模擬時間為10天，即14400分鐘),如果我們簡單地接受一次模擬運行的結(jié)果，那么得出的結(jié)論與實際情況就會有很大的偏差。,4.2 面臨的問題,對從一個隨機系統(tǒng)中獲得的樣本進行統(tǒng)計分析時，最常用的方法是點估計和區(qū)間估計。假設(shè)系統(tǒng)中獲得的樣本為 {x1, x2, …, xn}，樣本均值的點估計 與樣本方差的點估計s2分別定義為： 可以證明當(dāng)x

8、i為獨立同分布隨機變量時,和s2分別是?和?2的無偏估計，而且樣本量n越大，對?估計的精度就越高,,,,4.2 面臨的問題,在實際應(yīng)用中，人們還希望知道 和?之間的差異程度，這種差異程度一般采用區(qū)間估計的方法來表示。區(qū)間估計給出了以為 中心的一個區(qū)間，而該區(qū)間以概率(或置信度)1-?包含?，?稱之為顯著水平(0<?<1)區(qū)間估計的建立方法按樣本方差?2是否已知而不同在進行點估計和區(qū)間估計時，對樣本都有一定的要求，

9、至少樣本應(yīng)滿足獨立同分布，特別當(dāng)真實的樣本方差?2未知時，對樣本母體均值作區(qū)間估計還要求母體是正態(tài)分布。,4.2 面臨的問題,從系統(tǒng)模擬過程中獲得的采樣數(shù)據(jù)一般都不滿足這些條件，主要有以下幾點原因： (1)模擬初始條件的影響初始條件決定了模擬模型在開始運行時模擬系統(tǒng)所處的系統(tǒng)狀態(tài)。初始系統(tǒng)狀態(tài)對模擬系統(tǒng)前期的行為有很大的影響，因此在模擬前期得到的采樣數(shù)據(jù)會有很大的偏差。特別是在終態(tài)模擬方式下，如果終態(tài)事件發(fā)生時，系統(tǒng)還沒有達到穩(wěn)定

10、狀態(tài)，那么采集的數(shù)據(jù)與真實情況的偏差會很大。,4.2 面臨的問題,例：考慮一個M/M/1排隊系統(tǒng)的模擬模型，假設(shè)顧客的平均到達率為12人/小時，單位顧客的平均服務(wù)速度為0.075小時/人，即服務(wù)強度為0.9。假定模擬開始時已有的等待服務(wù)的顧客數(shù)作為系統(tǒng)的初始狀態(tài)，我們希望通過模擬，確定在不同初始狀態(tài)下，系統(tǒng)在1小時時的平均排隊長度，以及在0初始狀態(tài)下，系統(tǒng)在不同時刻時的平均排隊長度。這是一個終態(tài)模擬問題。首先，對每一個固定的初始狀態(tài)，

11、我們進行100次重復(fù)模擬，以確定在該初始狀態(tài)條件下，系統(tǒng)在1小時時的平均排隊長度。模擬的結(jié)果如下表所示。,4.2 面臨的問題,其次，我們假定模擬開始時，系統(tǒng)內(nèi)等待服務(wù)的顧客數(shù)均為0，進行1000次模擬以確定在不同時刻，系統(tǒng)的平均排隊長度。下圖給出了模擬的結(jié)果。這個系統(tǒng)的平均排隊長度的理論值為8.1，從圖中我們可以看到，如果初始狀態(tài)為0，則大約在30小時以后，也就是說大約有12×30＝360個顧客到達后，系統(tǒng)才進入穩(wěn)定狀態(tài)。,

12、,4.2 面臨的問題,(2) 樣本之間相關(guān)性的影響從模擬系統(tǒng)中得到的數(shù)據(jù)構(gòu)成了一個時間序列，而該時間序列是一種具有自相關(guān)特性的隨機過程。 例如，在模擬一個排隊系統(tǒng)時，如果性能測度指標(biāo)是顧客的平均排隊時間，此時很顯然相鄰顧客的排隊時間之間有著密切的關(guān)系，即如果前一個顧客的排隊時間較長，則后一個顧客的排隊時間較長的概率就比較大 在模擬結(jié)果的統(tǒng)計分析中，為了能夠使用經(jīng)典統(tǒng)計分析中的常用方法，應(yīng)該采用恰當(dāng)?shù)臄?shù)據(jù)采樣方法，并對采樣數(shù)據(jù)作

13、必要的預(yù)處理，以適應(yīng)模擬輸出結(jié)果統(tǒng)計分析的需要。,,4.3 終態(tài)模擬的輸出分析,在終態(tài)模擬方式下，為了使采樣數(shù)據(jù)xi具有獨立性并具有相同的均值，一般采用重復(fù)模擬的方法，即在相同的初始條件下，對模擬模型進行重復(fù)運行。每次運行時要求采用不同的隨機數(shù)發(fā)生器或者對同一隨機數(shù)發(fā)生器采用不同的隨機數(shù)種子，以滿足采樣數(shù)據(jù)獨立性以及同均值的要求。一般，xi的選取按照進行系統(tǒng)模擬的目的來確定例如，就排隊系統(tǒng)而言，如果希望了解前m個顧客的平均排隊時間

14、，xi就可以采用第i次模擬過程中前m個顧客排隊時間的平均值；如果感興趣的是某一時刻系統(tǒng)中顧客的排隊長度，則xi可以采用第i次模擬過程中在該時刻系統(tǒng)中排隊長度的觀察值。,4.3 終態(tài)模擬的輸出分析,1. 重復(fù)模擬方法假如對模擬模型進行了n次獨立的運行，獲得了n個互相獨立的樣本，通常就可以直接采用統(tǒng)計方法給出樣本樣本均值的點估計與區(qū)間估計。 2. 獲得預(yù)定模擬精度下估計的方法隨著重復(fù)模擬次數(shù)n的增加，樣本均值的方差將變小，從而系

15、統(tǒng)性能測度指標(biāo)均值的點估計的精度將會提高； 隨著重復(fù)運行的次數(shù)n的增加，置信區(qū)間將變小，從而區(qū)間估計的精度也將提高。 但是，無限制地增加重復(fù)模擬的次數(shù)將會大大地增加模擬的時間與費用。因此，希望找到在給定精度下最少模擬運行次數(shù)的確定方法。,4.3 終態(tài)模擬的輸出分析,概率意義下定義的模擬精度(1) 絕對精度模擬的絕對精度為?，是指在顯著水平?下，置信區(qū)間的半寬不大于?的概率為1-?，即假設(shè) 是達到絕對模擬精度?的最少運行

16、次數(shù)，則有,,,,4.3 終態(tài)模擬的輸出分析,(2) 相對精度所謂模擬的相對精度為?，是指在顯著水平?下，置信區(qū)間的半寬與樣本均值之比不大于?的概率為1-?，即 假設(shè)是達到相對模擬精度?的最少運行次數(shù)，則有,,,4.3 終態(tài)模擬的輸出分析,在實際應(yīng)用中，精度參數(shù)?和?可由分析者根據(jù)實際要求確定。例如，在排隊系統(tǒng)中，如果要求平均排隊時間的估計值的偏差不超過?1分鐘，則?就可取1分鐘；如果要求平均排隊時間的估計值的偏差不超過樣本

17、均值的10％，則可以取?為10％。 為了確定達到一定精度的最少模擬運行次數(shù)，必須預(yù)先知道樣本標(biāo)準(zhǔn)差和樣本均值樣本標(biāo)準(zhǔn)差和樣本均值是要通過模擬得到的。因此，在實際應(yīng)用時，先對系統(tǒng)作n0次重復(fù)獨立模擬，確定樣本標(biāo)準(zhǔn)差s和樣本均值的近似值,4.4 穩(wěn)態(tài)模擬的輸出分析,在模擬系統(tǒng)達到穩(wěn)定狀態(tài)時才進行數(shù)據(jù)的采樣主要問題 (1) 必須找到確定模擬系統(tǒng)是否已達到穩(wěn)定態(tài)的方法為了消除模擬初始條件對模擬過程中采樣值的影響，可以將模擬運行劃分為

18、“預(yù)熱” 階段[0, T0]和數(shù)據(jù)采集階段[T0, TE] 。這里T0的選取應(yīng)使得系統(tǒng)在T0以后的狀態(tài)具有穩(wěn)態(tài)代表性，實際中往往是通過試運行來確定T0。 (2) 系統(tǒng)在達到穩(wěn)定狀態(tài)以前的過渡階段可能很長為了使系統(tǒng)盡快到達穩(wěn)定狀態(tài)，我們應(yīng)盡量使模擬運行的初始條件(系統(tǒng)狀態(tài)變量的初始設(shè)定)符合穩(wěn)態(tài)條件的要求。,4.4 穩(wěn)態(tài)模擬的輸出分析,輸出分析方法(1) 重復(fù)運行法與在終態(tài)模擬方式下所采用的重復(fù)模擬方法有相同的基本思想。對模擬模型

19、在相同的初始條件下作n次運行，每次采用不同的隨機數(shù)流，數(shù)據(jù)采樣只在采集階段[T0, TE]之間進行，即舍棄過渡階段[0, T0]之間的統(tǒng)計數(shù)據(jù)。(2) 批平均值法采用重復(fù)模擬方法，必須在每次模擬過程中經(jīng)過預(yù)熱階段，此外由于每次模擬中系統(tǒng)處于過渡狀態(tài)的時間長短不同，從而造成在采集的數(shù)據(jù)或多或少地受到初始狀態(tài)的影響。在批平均值方法中，將模擬模型作一次長時間的運行，將樣本采集階段劃分為n個采集區(qū)間(即批區(qū)間)，然后以這些批區(qū)間上的采樣值

20、的平均值所構(gòu)成的樣本，來估計系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能測度。,4.4 穩(wěn)態(tài)模擬的輸出分析,(3) 再生點方法在批均值方法中，對批區(qū)間采用了等間隔劃分的方法，由于在每批的采集的初始點系統(tǒng)所處的狀態(tài)并不相同，因此相鄰批平均值之間不能保證獨立性。再生點方法采用模擬過程中系統(tǒng)狀態(tài)的再生點來進行分批系統(tǒng)狀態(tài)的再生點是指系統(tǒng)模擬過程中的時刻點t1, t2 , …, 這些時刻點與系統(tǒng)在這些時刻點上的狀態(tài)具有以下性質(zhì)：(1) 兩個相鄰時刻點的間隔時間d

21、i=ti-ti-1是獨立同分布的；(2) 系統(tǒng)在這些時刻點上具有相同的狀態(tài)值；(3) 系統(tǒng)在時刻點ti以后的行為只與ti時刻系統(tǒng)所處的狀態(tài)有關(guān)，而與ti以前系統(tǒng)的狀態(tài)無關(guān)。di稱為“再生周期”,4.5 多方案模擬輸出的比較,對不同的方案或策略進行模擬時，不同方案的性能指標(biāo)可能有差異，這種差異可能是由于不同方案或策略的本質(zhì)差別所造成的，也可能是由于模擬輸出的隨機性引起的。對多方案的模擬輸出作統(tǒng)計上的比較與分析，目的就是為了對性能

22、指標(biāo)差異的上述兩種原因作出鑒別，從而達到正確選優(yōu)的目的。由于模擬的輸出在本質(zhì)是隨機變量，因此在用模擬輸出結(jié)果進行方案比較分析時，我們必須借助于統(tǒng)計檢驗方法。為了使統(tǒng)計檢驗方法有效，樣本數(shù)據(jù)應(yīng)滿足一些條件，其中最重要的一點就是樣本數(shù)據(jù)應(yīng)滿足獨立性的要求。 在實際問題中，評價系統(tǒng)優(yōu)劣的性能指標(biāo)可能有多個。在這里，主要對單指標(biāo)系統(tǒng)進行分析。,4.5 多方案模擬輸出的比較,(1) 兩方案模擬輸出之間的比較為了使采用不同方案的模擬輸出的

23、統(tǒng)計檢驗變得更加方便，往往對模擬系統(tǒng)運行時所使用的隨機數(shù)作一些要求一種是在對兩種方案進行模擬時采用獨立的隨機數(shù)流，這樣兩套模擬輸出樣本就具有一定的獨立性。另一種方法是在對兩種方案進行模擬時采用相同的隨機數(shù)流，這樣得到的兩套模擬輸出樣本就具有相關(guān)性。,4.5 多方案模擬輸出的比較,①獨立模擬輸出樣本假設(shè)在方案j (j=1,2)下，模擬輸出樣本為 ，且{xi1}與{xi2}相互獨立。我們

24、現(xiàn)在要對兩種方案有沒有本質(zhì)差別作出判斷。設(shè)方案j的性能測度的母體均值為?j，方差為 ，因此這種判斷可以通過對?1和?2是否有顯著差異所作的假設(shè)檢驗來進行。為此，我們必須建立?1-?2的點估計和區(qū)間估計。 置信區(qū)間全落在零左邊，?1-?20 置信區(qū)間包含零，?1和?2無顯著差異,,4.5 多方案模擬輸出的比較,②相關(guān)模擬輸出樣本如果在兩種方案的模擬中產(chǎn)生的兩套樣本{xi1}和{xi2}滿足：x1j, x2j, …xnj之

25、間仍然是互相獨立和同分布的，但xi1和xi2間則不是獨立的，而是正相關(guān)的。 一般講，當(dāng)兩種方案之間的差別不是太大時，利用相關(guān)模擬輸出樣本方法進行方案比較，判斷的準(zhǔn)確性更高,4.5 多方案模擬輸出的比較,(2) 多方案模擬輸出的比較在模擬研究中，經(jīng)常會遇到需要對多種方案進行比較的情況。由于方案數(shù)的增加，使得方案之間的比較變得更加復(fù)雜。一方面是比較次數(shù)大大增加，例如當(dāng)方案數(shù)為N時，按照兩方案比較方法，則需要作N(N-1)/2次比較；另

26、一方面則是當(dāng)比較次數(shù)增加時，總體上發(fā)生判斷出錯的概率將大大增加。因此，在進行多方案模擬輸出比較時，選擇一個好的統(tǒng)計方法就變得尤為重要。主要方法：Bonferroni方法、最優(yōu)方案選擇法,4.5 多方案模擬輸出的比較,Bonferroni方法假設(shè)我們要作m次方案比較，相當(dāng)于要對m個統(tǒng)計假設(shè) Hk: Dk=0 k=1,2,…,m 進行檢驗 其中，Dk為N個方案中某兩個方案性能測度的樣本均值之差。確定為了使總體判斷