matlab數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析

1、現(xiàn)實(shí)生活中的許多數(shù)據(jù)都是隨機(jī)產(chǎn)生的，如考試分?jǐn)?shù)、月降雨量、燈泡壽命等。,從數(shù)理統(tǒng)計(jì)角度來看，這些數(shù)據(jù)其實(shí)都是符合某種分布的，這種規(guī)律就是統(tǒng)計(jì)規(guī)律。,本實(shí)驗(yàn)主要通過對概率密度函數(shù)曲線的直觀認(rèn)識(shí)和數(shù)據(jù)分布的形態(tài)猜測，以及密度函數(shù)的參數(shù)估計(jì)，進(jìn)行簡單的正態(tài)假設(shè)檢驗(yàn)，揭示日常生活中隨機(jī)數(shù)據(jù)的一些統(tǒng)計(jì)規(guī)律。,問題背景和實(shí)驗(yàn)?zāi)康?Matlab相關(guān)命令介紹,pdf 概率密度函數(shù),y=pdf(name,x,A),y=pdf(name,x,A,B) 或

2、y=pdf(name,x,A,B,C),返回由 name 指定的單參數(shù)分布的概率密度，x為樣本數(shù)據(jù),name 用來指定分布類型，其取值可以是： 'beta'、'bino'、'chi2'、'exp'、'ev'、'f' 、 'gam'、'gev'、'gp'、'geo'、

3、9;hyge'、'logn'、 'nbin'、'ncf'、'nct'、'ncx2'、'norm'、 'poiss'、'rayl'、't'、'unif'、'unid'、'wbl'。,返回由 name 指定的雙參數(shù)或三參數(shù)分布的概率密度,M

4、atlab相關(guān)命令介紹,例：,x=-8:0.1:8;y=pdf('norm',x,0,1);y1=pdf('norm',x,1,2);plot(x,y,x,y1,':'),注：,y=pdf('norm',x,0,1),y=normpdf(x,0,1),,相類似地，,y=pdf('beta',x,A,B),y=betapdf(x,A,B),,y=pdf(

5、'bino,x,N,p),y=binopdf(x,N,p),,…… ……,Matlab相關(guān)命令介紹,normfit 正態(tài)分布中的參數(shù)估計(jì),[muhat,sigmahat,muci,sigmaci]=normfit(x,alpha),對樣本數(shù)據(jù) x 進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，并計(jì)算置信度為 1-alpha 的置信區(qū)間 alpha 可以省略，缺省值為 0.05，即置信度為 95%,load 從matlab數(shù)據(jù)文件中載入數(shù)據(jù),S=l

6、oad('數(shù)據(jù)文件名'),hist 繪制給定數(shù)據(jù)的直方圖,hist(x,m),Matlab相關(guān)命令介紹,table=tabulate(x),繪制頻數(shù)表，返回值 table 中，第一列為x的值，第二列為該值出現(xiàn)的次數(shù)，最后一列包含每個(gè)值的百分比。,ttest(x,m,alpha),假設(shè)檢驗(yàn)函數(shù)。此函數(shù)對樣本數(shù)據(jù) x 進(jìn)行顯著性水平為 alpha 的 t 假設(shè)檢驗(yàn)，以檢驗(yàn)正態(tài)分布樣本 x（標(biāo)準(zhǔn)差未知）的均值是否為 m。,Ma

7、tlab相關(guān)命令介紹,normplot(x),統(tǒng)計(jì)繪圖函數(shù)，進(jìn)行正態(tài)分布檢驗(yàn)。研究表明：如果數(shù)據(jù)是來自一個(gè)正態(tài)分布，則該線為一直線形態(tài)；如果它是來自其他分布，則為曲線形態(tài)。,wblplot(x),統(tǒng)計(jì)繪圖函數(shù)，進(jìn)行 Weibull 分布檢驗(yàn)。,Matlab相關(guān)命令介紹,其它函數(shù),cdf 系列函數(shù)：累積分布函數(shù) inv 系列函數(shù)：逆累積分布函數(shù) rnd 系列函數(shù)：隨機(jī)數(shù)發(fā)生函數(shù) stat 系列函數(shù)：均值與方差函數(shù),例：,p=norm

8、cdf(-2:2,0,1),x=norminv([0.025 0.975],0,1),n=normrnd(0,1,[1 5]),n=1:5; [m,v]=normstat(n'*n,n'*n),常見的概率分布,連續(xù)分布：正態(tài)分布,正態(tài)分布（連續(xù)分布）,如果隨機(jī)變量 X 的密度函數(shù)為：,則稱 X 服從正態(tài)分布。記做：,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：N (0, 1),正態(tài)分布也稱高斯分布，是概率論中最重要的一個(gè)分布。,如果一個(gè)變量是大量微小

9、、獨(dú)立的隨機(jī)因素的疊加，那么它一定滿足正態(tài)分布。如測量誤差、產(chǎn)品質(zhì)量、月降雨量等,正態(tài)分布舉例,x=-8:0.1:8;y=normpdf(x,0,1);y1=normpdf(x,1,2);plot(x,y,x,y1,':'),例：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布和非標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)圖形,連續(xù)分布：均勻分布,均勻分布（連續(xù)分布）,如果隨機(jī)變量 X 的密度函數(shù)為：,則稱 X 服從均勻分布。記做：,均勻分布在實(shí)際中經(jīng)常使用，譬如一個(gè)半徑

10、為 r 的汽車輪胎，因?yàn)檩喬ド系娜我稽c(diǎn)接觸地面的可能性是相同的，所以輪胎圓周接觸地面的位置 X 是服從 [0,2?r] 上的均勻分布。,均勻分布舉例,x=-10:0.01:10;r=1;y=unifpdf(x,0,2*pi*r);plot(x,y);,連續(xù)分布：指數(shù)分布,指數(shù)分布（連續(xù)分布）,如果隨機(jī)變量 X 的密度函數(shù)為：,則稱 X 服從參數(shù)為 ? 的指數(shù)分布。記做：,在實(shí)際應(yīng)用問題中，等待某特定事物發(fā)生所需要的時(shí)間往往服從指數(shù)

11、分布。如某些元件的壽命；隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時(shí)間；動(dòng)物的壽命等都常常假定服從指數(shù)分布。,指數(shù)分布具有無記憶性：,指數(shù)分布舉例,x=0:0.1:30;y=exppdf(x,4);plot(x,y),例： ?=4 時(shí)的指數(shù)分布密度函數(shù)圖,離散分布：幾何分布,幾何分布是一種常見的離散分布,在貝努里實(shí)驗(yàn)中，每次試驗(yàn)成功的概率為 p，設(shè)試驗(yàn)進(jìn)行到第 ? 次才出現(xiàn)成功，則 ? 的分布滿足：,其右端項(xiàng)是幾何級(jí)數(shù)

12、 的一般項(xiàng)，于是人們稱它為幾何分布。,x=0:30; y=geopdf(x,0.5); plot(x,y),例： p=0.5 時(shí)的幾何分布密度函數(shù)圖,離散分布：二項(xiàng)式分布,二項(xiàng)式分布屬于離散分布,如果隨機(jī)變量 X 的分布列為：,則稱這種分布為二項(xiàng)式分布。記做：,x=0:50;y=binopdf(x,500,0.05);plot(x,y),例： n=500，p=0.05 時(shí)的二項(xiàng)式分布密度函數(shù)圖,離散分布： Poisson 分布,泊

13、松分布也屬于離散分布，是1837年由發(fā)個(gè)數(shù)學(xué)家 Poisson 首次提出，其概率分布列為：,記做：,泊松分布是一種常用的離散分布，它與單位時(shí)間（或單位面積、單位產(chǎn)品等）上的計(jì)數(shù)過程相聯(lián)系。如：單位時(shí)間內(nèi)，電話總機(jī)接到用戶呼喚次數(shù)；1 平方米內(nèi)，玻璃上的氣泡數(shù)等。,Poisson 分布舉例,x=0:50;y=poisspdf(x,25);plot(x,y),例： ?=25 時(shí)的泊松分布密度函數(shù)圖,離散分布：均勻分布,如果隨機(jī)變量 X

14、的分布列為：,則稱這種分布為離散均勻分布。記做：,n=20;x=1:n;y=unidpdf(x,n);plot(x,y,'o-'),例： n=20 時(shí)的離散均勻分布密度函數(shù)圖,抽樣分布： ?2分布,設(shè)隨機(jī)變量 X1, X2, … , Xn 相互獨(dú)立，且同服從正態(tài)分布 N(0,1)，則稱隨機(jī)變量 ?n2= X12+X22+ … +Xn2服從自由度為 n 的 ?2 分布，記作

15、 ，亦稱隨機(jī)變量 ?n2 為 ?2 變量。,x=0:0.1:20; y=chi2pdf(x,4); plot(x,y),例： n=4 和 n=10 時(shí)的 ?2 分布密度函數(shù)圖,x=0:0.1:20; y=chi2pdf(x,10); plot(x,y),抽樣分布： F 分布,設(shè)隨機(jī)變量 ，且 X 與 Y 相互獨(dú)立，則稱隨機(jī)變量,x=0.01

16、:0.1:8.01;y=fpdf(x,4,10);plot(x,y),例： F(4,10) 的分布密度函數(shù)圖,為服從自由度 (m, n) 的 F 分布。記做：,抽樣分布： t 分布,設(shè)隨機(jī)變量 ，且 X 與 Y 相互獨(dú)立，則稱隨機(jī)變量,x=-6:0.01:6;y=tpdf(x,4);plot(x,y),例： t (4) 的分布密度函數(shù)圖,為服從

17、自由度 n 的 t 分布。記做：,頻數(shù)直方圖或頻數(shù)表,對于給定的數(shù)據(jù)集，假設(shè)它們滿足以上十種分布之一，如何確定屬于哪種分布？,x=load('data1.txt'); x=x(:);hist(x),例 1：某次筆試的分?jǐn)?shù)見 data1.txt，試畫出頻數(shù)直方圖,繪制頻數(shù)直方圖，或列出頻數(shù)表,從圖形上看，筆試成績較為接近正態(tài)分布,頻數(shù)直方圖或頻數(shù)表,x=load('data2.txt'); x=x(:);

18、hist(x),例 2：某次上機(jī)考試的分?jǐn)?shù)見 data2.txt，試畫出頻數(shù)直方圖,從圖形上看，上機(jī)考試成績較為接近離散均勻分布,x=load('data3.txt'); x=x(:);hist(x),例 3：上海1998年來的月降雨量的數(shù)據(jù)見 data3.txt ， 試畫出頻數(shù)直方圖,從圖形上看，月降雨量較為接近 ?2 分布,頻數(shù)直方圖或頻數(shù)表,在重復(fù)數(shù)據(jù)較多的情況下，我們也可以利用Mat

19、lab自帶的 tabulate 函數(shù)生成頻數(shù)表，并以頻數(shù)表的形式來發(fā)掘數(shù)據(jù)分布的規(guī)律。,x=load('data4.txt'); x=x(:);tabulate(x)hist(x),例 4：給出數(shù)據(jù) data4.txt，試畫出其直方圖，并生成頻數(shù)表,頻數(shù)直方圖或頻數(shù)表,x=load('data5.txt'); x=x(:);hist(x)fiugrehistfit(x) % 加入較接近的正態(tài)

20、分布密度曲線,例 5：現(xiàn)累積有100次刀具故障記錄，當(dāng)故障出現(xiàn)時(shí)該批刀具完成的零件數(shù)見 data5.txt，試畫出其直方圖。,從圖形上看，較為接近正態(tài)分布,參數(shù)估計(jì),當(dāng)我們可以基本確定數(shù)據(jù)集 X 符合某種分布后，我們還需要確定這個(gè)分布的參數(shù)。,由于正態(tài)分布情況發(fā)生的比較多，故我們主要考慮正態(tài)分布的情形。,對于未知參數(shù)的估計(jì)，可分兩種情況：,點(diǎn)估計(jì) 區(qū)間估計(jì),參數(shù)估計(jì)：點(diǎn)估計(jì),構(gòu)造樣本 X 與某個(gè)統(tǒng)計(jì)量有關(guān)的一個(gè)函數(shù)，作為該統(tǒng)計(jì)量的一個(gè)

21、估計(jì)，稱為點(diǎn)估計(jì)。,Matlab 統(tǒng)計(jì)工具箱中，一般采用最大似然估計(jì)法給出參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)。,泊松分布 P (?) 的 ? 最大似然估計(jì)是,指數(shù)分布 Exp (?) 的 ? 最大似然估計(jì)是,點(diǎn)估計(jì)舉例,正態(tài)分布 N (?, ?2) 中， ? 最大似然估計(jì)是 ， ?2 的最大似然估計(jì)是,x=load('data1.txt');x=x(:);[mu,sigma]=normfit(x),例 6：已知例

22、 1 中的數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布 N (?, ?2) ，試求其參數(shù) ? 和 ? 的值。,使用 normfit 函數(shù),參數(shù)估計(jì)：區(qū)間估計(jì),構(gòu)造樣本 X 與某個(gè)統(tǒng)計(jì)量有關(guān)的兩個(gè)函數(shù)，作為該統(tǒng)計(jì)量的下限估計(jì)與上限估計(jì)，下限與上限構(gòu)成一個(gè)區(qū)間，這個(gè)區(qū)間作為該統(tǒng)計(jì)量的估計(jì)，稱為區(qū)間估計(jì)。,Matlab 統(tǒng)計(jì)工具箱中，一般也采用最大似然估計(jì)法給出參數(shù)的區(qū)間估計(jì)。,區(qū)間估計(jì)舉例,x=load('data1.txt'); x=x(:);

23、[mu,sigma,muci,sigmaci]=normfit(x),例 7：已知例 1 中的數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布 N (?, ?2) ，試求出 ? 和 ?2 的置信度為 95% 的區(qū)間估計(jì)。,x=load('data6.txt'); x=x(:);[mu,sigma,muci,sigmaci]=normfit(x,0.01),例 8：從自動(dòng)機(jī)床加工的同類零件中抽取16件，測得長度值見 data6.txt，已知零件長度服

24、從正態(tài)分布 N (?, ?2) ，試求零件長度均值 ? 和標(biāo)準(zhǔn)差 ? 的置信度為 99% 的置信區(qū)間。,假設(shè)檢驗(yàn),對總體的分布律或分布參數(shù)作某種假設(shè)，根據(jù)抽取的樣本觀察值，運(yùn)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)的分析方法，檢驗(yàn)這種假設(shè)是否正確，從而決定接受假設(shè)或拒絕假設(shè)，這就是假設(shè)檢驗(yàn)問題。,以正態(tài)假設(shè)檢驗(yàn)為例，來說明假設(shè)檢驗(yàn)的基本過程。,正態(tài)假設(shè)檢驗(yàn),正態(tài)假設(shè)檢驗(yàn)的一般過程：,假設(shè)檢驗(yàn)：利用 Matlab 統(tǒng)計(jì)工具箱給出的常用的假設(shè)檢驗(yàn)方法的函數(shù) ttest，

25、進(jìn)行顯著性水平為 alpha 的 t 假設(shè)檢驗(yàn)，以檢驗(yàn)正態(tài)分布樣本 x（標(biāo)準(zhǔn)差未知）的均值是否為 m。運(yùn)行結(jié)果中，當(dāng) h=1 時(shí)，表示拒絕零假設(shè)；當(dāng) h=0 時(shí)，表示不能拒絕零假設(shè)。,對比正態(tài)分布的概率密度函數(shù)分布圖，判斷某統(tǒng)計(jì)量的分布可能服從正態(tài)分布,利用統(tǒng)計(jì)繪圖函數(shù) normplot 或 wblplot 進(jìn)行正態(tài)分布檢驗(yàn),正態(tài)假設(shè)檢驗(yàn)舉例,x=load('data5.txt'); x=x(:);normplot(

26、x),例 9：試說明例 5 中的刀具使用壽命服從正態(tài)分布，并且說明在方差未知的情況下其均值 m 取為 597 是否合理。,(1) 對比刀具使用壽命分布圖與正態(tài)分布的概率密度分布函數(shù)圖，得初步結(jié)論：該批刀具的使用壽命可能服從正態(tài)分布。,解：,(2) 利用統(tǒng)計(jì)繪圖函數(shù) normplot 進(jìn)行分布的正態(tài)性檢驗(yàn),結(jié)果顯示：這 100 個(gè)離散點(diǎn)非常靠近傾斜直線段，即圖形為線性的，因此可得結(jié)論：該批刀具的使用壽命近似服從正態(tài)分布。,正態(tài)假設(shè)檢驗(yàn)舉例