線性方程組的幾種新解法及應(yīng)用-畢業(yè)論文

1、第1頁共11頁線性方程組的幾種新解法及應(yīng)用線性方程組的幾種新解法及應(yīng)用[摘要]本文主要是在線性方程組的兩種解法的基礎(chǔ)上來探討線性方程組的另三種解法求逆矩陣法、行列初等變換法、矩陣的三角分解法.先給出這幾種方法的理論基礎(chǔ)，再分別給出通過例題之處它們相互之間的適用性.這些方法中有的計算量不是很大，頗為實用.1.[關(guān)鍵詞]線性方程組解法基礎(chǔ)解系矩陣的秩逆矩陣.1引言我們在生活中常遇到許多與線性方程組有關(guān)的數(shù)學(xué)問題，如古代著名的“雞兔同籠”問題

2、就是一個含有兩個方程兩個未知量的線性方程組.同時，線性方程組也是高等代數(shù)的重要研究對象.從高等教材中我們已經(jīng)知道了解線性方程組的三種方法:①克萊姆法則②消元法③初等變換法.現(xiàn)在我們在原有理論的基礎(chǔ)上再來研究線性方程組的另兩種方法，稱為求逆矩陣法、行列初等變換法、矩陣的三角分解法.2預(yù)備知識2.12.1線性方程組的定義線性方程組的定義一般線性方程組是指形式為11112211211222221122nnnnsssnnsaxaxaxbaxax

3、axbaxaxaxb??????????????????????????(2.1)的方程組，其中12nxxx?代表n個未知量，方程的個數(shù)為s個，(1212)ijaisjn????稱為方程組的系數(shù)，(12)jbjs??稱為常數(shù)項.方程組中未知量的個數(shù)n與方程的個數(shù)s不一定相等.ija的第一個指標(biāo)i表示它在第i個方程，第二個指標(biāo)j表示它是jx的系數(shù).3線性方程組的求解方法3.13.1克拉默法則克拉默法則設(shè)有線性方程組（n個未知數(shù)n個方程）1

4、1112211211222221122nnnnnnnnnnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb??????????????????????????其矩陣形式為Axb?第3頁共11頁如果線性方程組Axb?的系數(shù)矩陣已經(jīng)進行三角分解，ALU?，則解方程組Axb?等價于求解兩個三角形方程組LybUxy??，即由11212212310001001nnnnnyblybLylllyb??????????????????????????????

5、???????????????可求出111(1)(2)jkkkkjjbkyblykn?????????????再由11121311122232220000nnnnnnuuuuxyuuuxyUxxyu?????????????????????????????????????????????解得1().()(11)nnnnkkkjjkkjkyuknxyuxukn??????????????用三角分解法求解線性方程組的乘法運算量是33n數(shù)量級

6、.由于在求出iju，ijl和iy后，ija和ib就無須保留了，故上機計算時，可把LU和y存在Ab所占的單元，回代時x取代y，整個計算過程中不需要增加新的存儲單元.而且系數(shù)矩陣的三角分解與右端常數(shù)項無關(guān)，故在計算系數(shù)矩陣相同而右端項不同的一系列方程組時用三角分解法更為簡便.3.43.4求逆矩陣法求逆矩陣法定理定理]4[4.3設(shè)矩陣A可逆，則矩陣方程BAX?有解，并且把矩陣合成分塊矩陣??BA.對這個矩陣施行初等行變換，當(dāng)A化為單位矩陣?時

7、，B就化成了X.證明證明設(shè)有矩陣方程BAX?，其中矩陣A可逆.那么應(yīng)有BAX1??又顯然有AAI1??于是對分塊矩陣??BA，我們有????XIBAA1??而A可逆，故1A也可逆，因此1A也可以表示為一系列初等矩陣nPPP?21的積：nPPPA?211??.因此，我們得出????XIBAPPPn21??以上等式說明：若對分塊矩陣??BA施行初等行變換，當(dāng)左邊的一塊A化為單位矩陣?時，右邊的一塊?就化為了BAX1??，即????BAIBA