第一課 有限元基本理論及軟件介紹(西交大)

1、有限元方法及CAE軟件,劉恒hengliu@mail.xjtu.edu.cn,由NordriDesign提供www.nordridesign.com,課程安排,西安交通大學(xué)研究生課程教學(xué)計(jì)劃進(jìn)度表課程代碼：012183 課程名稱：有限元方法及CAE軟件 總學(xué)分：4 學(xué)時(shí)：80 開課季節(jié)：秋上,考試安排,平時(shí)成績(jī)占總成績(jī)40%1次大作業(yè)閉卷考試占總成績(jī)60%1、填空；2、

2、選擇；3、問(wèn)答題交流群：西安交大有限元2016群號(hào)： 581365633,參考書目,先修課：材料力學(xué)、彈性力學(xué)、振動(dòng)力學(xué)、計(jì)算方法。參考書目：R. D. 庫(kù)克，有限元分析的概念和應(yīng)用，程耿東等譯，北京：科學(xué)出版社，1989王勛成，邵敏，有限單元法基本原理和數(shù)值方法，北京：清華大學(xué)出版社，1995李人憲.有限元法基礎(chǔ). 北京：國(guó)防工業(yè)出版社，2004，ISBN 7-118-03562-9/TB138美國(guó)ANSY

3、S公司北京辦事處，ANSYS入門手冊(cè)，1998美國(guó)ANSYS公司北京辦事處，ANSYS結(jié)構(gòu)分析指南，1998美國(guó)ANSYS公司北京辦事處，ANSYS熱分析指南，1998美國(guó)ANSYS公司北京辦事處，ANSYS動(dòng)力學(xué)分析指南，1998美國(guó)ANSYS公司北京辦事處，ANSYS非線性分析指南，1998美國(guó)ANSYS公司北京辦事處，ANSYS耦合場(chǎng)分析指南，1998美國(guó)ANSYS公司北京辦事處，ANSYS高級(jí)分析技術(shù)指南，1998,

4、有限元網(wǎng)絡(luò)資源,http://www.engineeringzones.com - A website created to educate people in the latest engineering technologies, manufacturing techniques and software tools. Exellent FEM links, including links to all commercial pro

5、viders of FEM software. http://www.comco.com/feaworld/feaworld.html - Extensive FEM links, categorized by analysis type (mechanical, fluids, electromagnetic, etc.) http://femur.wpi.edu - Extensive collection of eleme

6、ntary and advanced material relating to the FEM. http://www.engr.usask.ca/%7Emacphed/finite/fe_resources/fe_resources.html - Lists many public domain and shareware programs. http://sog1.me.qub.ac.uk/dermot/ferg/ferg.

7、html#Finite - Home page of the the Finite Element Research Group at The Queen's University of Belfast. Excellent set of FEM links. http://www.tenlinks.com/cae/ - Hundreds of links to useful and interesting CAE cite

8、d, including FEM, CAE, free software, and career information.http://www.geocities.com/SiliconValley/5978/fea.html - Extensive FEM links. http://www.nafems.org/ - National Agency for Finite Element Methods and Standar

9、ds (NAFEMS).,幾點(diǎn)建議,作為大型有限元分析軟件，ANSYS相當(dāng)難學(xué): 一、需要學(xué)習(xí)者有比較扎實(shí)的力學(xué)理論基礎(chǔ)，對(duì)ANSYS分析結(jié)果能有個(gè)比較準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)和判斷，可以說(shuō)，理論水平的高低在很大程度上決定了ANSYS使用水平； 二、需要學(xué)習(xí)者不斷摸索出軟件的使用經(jīng)驗(yàn)不斷總結(jié)以提高解決問(wèn)題的效率。幾點(diǎn)建議：（1）將ANSYS的學(xué)習(xí)緊密與工程力學(xué)專業(yè)結(jié)合起來(lái)；（2）多問(wèn)多思考多積累經(jīng)驗(yàn)（一是要多

10、問(wèn)但不要不懂就問(wèn)；二是要有耐心，不要郁悶，多思考；三是注意積累經(jīng)驗(yàn)，不斷總結(jié)經(jīng)驗(yàn)）；（3）練習(xí)使用ANSYS最好直接找力學(xué)專業(yè)書后的習(xí)題來(lái)做（三點(diǎn)）；（ 4 ）保持帶著問(wèn)題去看ANSYS是怎樣處理相關(guān)問(wèn)題的良好習(xí)慣；（ 5 ）熟悉GUI操作之后再來(lái)使用命令流。,第一講 有限元方法概述,引言,偏微分方程,偏微分方程的解,有限元分析的實(shí)例,有限元基礎(chǔ)知識(shí),有限元中數(shù)學(xué)原理,各種有限元軟件,引言——各門力學(xué)學(xué)科分支間的關(guān)系,中學(xué)力學(xué)對(duì)

11、象；質(zhì)點(diǎn)特征；無(wú)變形 無(wú)形狀變量： 1）質(zhì)點(diǎn)描述質(zhì)心 2）運(yùn)動(dòng)狀態(tài)描述 3）力平衡描述方程： 質(zhì)點(diǎn)牛頓三定律求解：積分方法,理論力學(xué)對(duì)象；質(zhì)點(diǎn)及剛體特征；無(wú)變形 形狀復(fù)雜的體變量： 1)剛體描述—轉(zhuǎn)動(dòng) 2)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)描述 3)力平衡描述方程： 質(zhì)點(diǎn)和剛體的牛頓三定律求解：積分方法,材料力學(xué)

12、對(duì)象；簡(jiǎn)單變形體特征；變形小 簡(jiǎn)單形狀的體變量： 1）材料物性描述 2）變形方面描述 3）力的平衡描述方程： 1）物理本構(gòu)方程 2）幾何變形方程 3）力的平衡方程三大變量—三大方程求解：簡(jiǎn)化求解方法,結(jié)構(gòu)力學(xué)對(duì)象；簡(jiǎn)單多變形體特征；變形小 簡(jiǎn)單形狀的多體變量： 1）材料物性描述 2）變形方面描述 3）力的平

13、衡描述方程： 1）物理本構(gòu)方程 2）幾何變形方程 3）力的平衡方程三大變量—三大方程求解：簡(jiǎn)化求解方法,彈性力學(xué)對(duì)象；任意變形體特征；變形小 任意形狀的體變量： 1）材料物性描述 2）變形方面描述 3）力的平衡描述方程(微體dxdydz): 1）物理本構(gòu)方程 2）幾何變形方程 3）力的平衡方程三大變量—三大方程求解:

14、解析半解析法,彈塑性力學(xué)對(duì)象；任意變形體特征；變形(屈服) 任意形狀的體變量：1)材料彈塑物性描述2)變形方面描述3)力的平衡描述方程(微體dxdydz): 1）物理本構(gòu)方程 (屈服、非線性) 2）幾何變形方程 3）力的平衡方程三大變量—三大方程求解:解析半解析法,非變形體（剛體）,變形體,引言——變形體及其受力情況的描述,基本變量：

15、 u ? ? ==》 ui ?ij ?ij (位移) (應(yīng)變) (應(yīng)力) (如研究xyz三個(gè)方向，對(duì)應(yīng)張量描述)基本方程： 1）材料方面 2）幾何方面 3）力平衡方面求解方法： 1）經(jīng)典解析方法 2）半解析方法 3）傳統(tǒng)

16、數(shù)值求解方法 4）現(xiàn)代數(shù)值求解(規(guī)范化、標(biāo)準(zhǔn)化、規(guī)?；⒂?jì)算機(jī)化),三大類變量,三大類方程,,引言——有限元的思路和發(fā)展過(guò)程,思路：以計(jì)算機(jī)為工具，分析任意變形體以獲得所有力學(xué)信息。,技術(shù)路線：標(biāo)準(zhǔn)化 (任意復(fù)雜問(wèn)題理論研究==》標(biāo)準(zhǔn)化分解，單元建模-》有限種標(biāo)準(zhǔn)單元)規(guī)范化(前處理：CAD幾何、力學(xué)建模、求解、后處理結(jié)果顯示)計(jì)算機(jī)化(標(biāo)準(zhǔn)程序、模塊)應(yīng)用規(guī)?；?、普及化(可求解大型問(wèn)題：10的8次到11次DOF),

17、有限種類標(biāo)準(zhǔn)件,構(gòu)造任意復(fù)雜對(duì)象,,目前常用的計(jì)算方法包括第一原理從頭計(jì)算法、分子動(dòng)力學(xué)方法，蒙特卡洛方法，有限元分析等。,引言——計(jì)算仿真的幾個(gè)層次,引言——有限元的思路和發(fā)展過(guò)程,發(fā)展過(guò)程：,工程師，boeing公司Turner、Clough分析飛機(jī)結(jié)構(gòu)(采用自然離散)1960，Clough處理平面連續(xù)彈性問(wèn)題，提出“有限單元法”名稱1956- ，Argyris(Univ. of Stuttgart)，Zienkie

18、wicz(英國(guó)Swansan大學(xué))，Topp等學(xué)者的大量理論及應(yīng)用工作,連續(xù)體,離散體,自然離散(桁架),逼近離散(連續(xù)體),,,,數(shù)學(xué)家1943，Courant研究分片連續(xù)與最小勢(shì)能問(wèn)題1963-1964，Besseling,Melosh,Jones研究FEM與Ritz法的關(guān)系及變分原理1951- 至今，我國(guó)湖海昌、馮康、匡振邦。。。。,在尋找連續(xù)系統(tǒng)求解方法的過(guò)程中，工程師和數(shù)學(xué)家從兩種不同的路線得到,了相同的結(jié)果，即有限元

19、法。,有限元法的形成可以回顧到二十世紀(jì)50年代，來(lái)源于固體力學(xué)中矩陣結(jié)構(gòu)法,的發(fā)展和工程師對(duì)結(jié)構(gòu)相似性的直覺判斷。從固體力學(xué)的角度來(lái)看，桁架結(jié),構(gòu)等標(biāo)準(zhǔn)離散系統(tǒng)與人為分割成有限個(gè)分區(qū)后的連續(xù)系統(tǒng)在結(jié)構(gòu)上存在相似,性。,1956年M.J.Turner, R.W.Clough, H.C.Martin, L.J.Topp在紐約舉行的航空,學(xué)會(huì)年會(huì)上介紹了一種新的計(jì)算方法，將矩陣位移法推廣到求解平面應(yīng)力問(wèn),題。他們把結(jié)構(gòu)劃分成一個(gè)個(gè)三角形和矩形

20、的“單元”，利用單元中近似位,移函數(shù)，求得單元節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)位移關(guān)系的單元?jiǎng)偠染仃嚒?1954-1955年，J.H.Argyris在航空工程雜志上發(fā)表了一組能量原理和結(jié)構(gòu)分,析論文。,1960 年 ， Clough 在 他 的 名 為 “ The finite element in plane stress,analysis”的論文中首次提出了有限元（finite element）這一術(shù)語(yǔ)。,引言——有限元的思路和發(fā)展過(guò)程,數(shù)學(xué)家們則發(fā)展

21、了微分方程的近似解法，包括有限差分方法，變,分原理和加權(quán)余量法。,在1963年前后，經(jīng)過(guò)J.F.Besseling, R.J.Melosh, R.E.Jones,,R.H.Gallaher, T.H.Pian（卞學(xué)磺）等許多人的工作，認(rèn)識(shí)到有,限元法就是變分原理中Ritz近似法的一種變形，發(fā)展了用各種不,同變分原理導(dǎo)出的有限元計(jì)算公式。,1965年O.C.Zienkiewicz和Y.K.Cheung（張佑啟）發(fā)現(xiàn)只要能寫成,變分形式

22、的所有場(chǎng)問(wèn)題，都可以用與固體力學(xué)有限元法的相同步,驟求解。,1969 年 B.A.Szabo 和 G.C.Lee 指 出 可 以 用 加 權(quán) 余 量 法 特 別 是,Galerkin法，導(dǎo)出標(biāo)準(zhǔn)的有限元過(guò)程來(lái)求解非結(jié)構(gòu)問(wèn)題。,引言——有限元的思路和發(fā)展過(guò)程,我國(guó)的力學(xué)工作者為有限元方法的初期發(fā)展做出了許多貢獻(xiàn)，其,中比較著名的有：陳伯屏（結(jié)構(gòu)矩陣方法），錢令希（余能原,理），錢偉長(zhǎng)（廣義變分原理），胡海昌（廣義變分原理），馮,康（有限單

23、元法理論）。遺憾的是，從1966年開始的近十年期間，,我國(guó)的研究工作受到阻礙。,有限元法不僅能應(yīng)用于結(jié)構(gòu)分析，還能解決歸結(jié)為場(chǎng)問(wèn)題的工程,問(wèn)題，從二十世紀(jì)六十年代中期以來(lái)，有限元法得到了巨大的發(fā),展，為工程設(shè)計(jì)和優(yōu)化提供了有力的工具。,有限元法是一種數(shù)值計(jì)算方法?？蓮V泛應(yīng)用于各種微分方程描述,的場(chǎng)問(wèn)題的求解。,引言——有限元的思路和發(fā)展過(guò)程,有限元法分析計(jì)算的基本思想,對(duì)象離散化,單元特性分析,—,—,—,選擇變量分布模式,分析單元的特

24、性,計(jì)算等效節(jié)點(diǎn)載荷,單元組集,求解未知節(jié)點(diǎn)變量,引言——彈性力學(xué)（線彈性有限元基礎(chǔ)）,物體離散化,將某個(gè)工程結(jié)構(gòu)離散為由各種單元組成的計(jì)算模型，,這一步稱作單元剖分。,離散后單元于單元之間利用單元的節(jié)點(diǎn)相互連接起來(lái)；,單元節(jié)點(diǎn)的設(shè)置、性質(zhì)、數(shù)目等應(yīng)視問(wèn)題的性質(zhì)，描,述變形形態(tài)的需要和計(jì)算進(jìn)度而定。,用有限元分析計(jì)算所獲得的結(jié)果只是近似的。如果劃,分單元數(shù)目非常多而又合理，則所獲 得的結(jié)果就與實(shí),際情況相符合。,引言——彈性力學(xué)（線彈性

25、有限元基礎(chǔ)）,分析單元的特性,根據(jù)單元的材料性質(zhì)、形狀、尺寸、節(jié)點(diǎn)數(shù)目、位置,及其含義等，找出單元節(jié)點(diǎn)載荷和節(jié)點(diǎn)變量的關(guān)系式，,建立節(jié)點(diǎn)變量值與單元內(nèi)任意點(diǎn)變量之間關(guān)系，等等，,這是單元分析中的關(guān)鍵一步。,如應(yīng)用彈性力學(xué)中的幾何方程和物理方程來(lái)建立力和,位移的方程式，從而導(dǎo)出單元?jiǎng)偠染仃?，這是有限元,法的基本步驟之一。,引言——彈性力學(xué)（線彈性有限元基礎(chǔ)）,計(jì)算等效節(jié)點(diǎn)載荷,物體離散化后，假定力是通過(guò)節(jié)點(diǎn)從一個(gè)單元 傳,遞到另一個(gè)單元。

26、但是，對(duì)于實(shí)際的連續(xù)體，力是,從單元的公共邊傳遞到另一個(gè)單元中去的。因而，,這種作用在單元邊界上的表面力、體積力和集中力,都需要等效的移到節(jié)點(diǎn)上去，也就是用等效的節(jié)點(diǎn),力來(lái)代 替所有作用在單元上得力。,引言——彈性力學(xué)（線彈性有限元基礎(chǔ)）,單元組集（組裝）,利用結(jié)構(gòu)力的平衡條件和邊界條件把各個(gè)單元按原來(lái),的結(jié)構(gòu)重新連接起來(lái)，形成整體的有限元方程,求解未知節(jié)點(diǎn)變量,可以根據(jù)方程組的具體特點(diǎn)來(lái)選擇合適的計(jì)算方法。,引言——彈性力學(xué)（線彈性有

27、限元基礎(chǔ)）,引言——彈性力學(xué)（線彈性有限元基礎(chǔ)）,研究對(duì)象：任意變形體——物體內(nèi)任意兩點(diǎn)之間可以發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)。,基本變量,基本方程,,,任意變形體,主位移,應(yīng)變,應(yīng)力,物體變形后的形狀,物體的變形程度,物體的受力狀態(tài),幾何方程,物理方程,平衡方程,,,,,彈模,,,,,,,,引言——線彈性的五個(gè)基本假設(shè),1）物體內(nèi)的物質(zhì)連續(xù)性假設(shè)：物質(zhì)無(wú)空隙，可用連續(xù)函數(shù)描述；2）物體內(nèi)的物質(zhì)均勻性假設(shè)：物體內(nèi)各個(gè)位置的物質(zhì)具有相同特性3）物體

28、內(nèi)的（力學(xué)）特性各向同性假設(shè)：物體內(nèi)同一位置的物質(zhì)在各個(gè)方向上具有相同特性； 4）線性彈性假設(shè)：物體的變形與外力作用關(guān)系是線性的，外力去除后物體可恢復(fù)原狀；5）小變形假設(shè)：物體變形遠(yuǎn)小于物體的幾何尺寸，在建立方程時(shí)可略去高階小量（二階以上） 。,引言——求解彈性力學(xué)問(wèn)題的主要方法和特點(diǎn)比較,偏微分方程,科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域內(nèi)，對(duì)于絕大部分問(wèn)題，人,們已經(jīng)得到了它們應(yīng)遵循的基本方程（偏微分,方程或常微分方程）。,如：溫度場(chǎng)方程（濃度場(chǎng)方程

29、）,流場(chǎng)動(dòng)力學(xué)方程,電磁場(chǎng)方程,固體力學(xué)方程,………..,偏微分方程——溫度場(chǎng)方程,偏微分方程——溫度場(chǎng)方程,傅里葉傳熱定律：q = ?kgradφ,熱傳導(dǎo)方程：ρ c,?φ,? ? ?φ ? ? ? ?φ ? ? ? ?φ ?,=,? k y,? + ? kz,? kx,? +,? + ρQ （在 Ω 內(nèi)）,?t ?x ? ?x ? ?y ? ?y ? ?z ? ?z ?,（在 Γ1 上）,邊界

30、條件：,φ = φ,kx,?φ,?φ,?φ,nx + k y,ny + kz,nz = q,?x,?y,?z,（在 Γ2 上）,kx,?φ,?φ,?φ,nx + k y,ny + kz,nz = h(φa ? φ ) （在 Γ3 上）,?x,?y,?z,偏微分方程——溫度場(chǎng)方程,偏微分方程——固體力學(xué)方程,偏微分方程——固體力學(xué)方程,偏微分方程——固體力學(xué)方程,偏微分方程——電磁場(chǎng)方程,偏微分方程——電磁場(chǎng)方程,偏微分方程——分類及特點(diǎn)

31、,偏微分方程——分類及特點(diǎn),偏微分方程——分類及特點(diǎn),偏微分方程——分類及特點(diǎn),邊值問(wèn)題與初值問(wèn)題,描述物理現(xiàn)象的偏微分方程常常與其邊,界條件或初始條件聯(lián)系在一起。,平衡方程:,?σij,?xj,+ρbi =0,幾何方程:,場(chǎng)方程（控制方程）,本構(gòu)方程:,1??ui ?uj ?,Dij = ? + ?,2? ?xj ?xi ?,ep,?,σij =CijklDkl,偏微分方程的求解,Su,邊界條件,V,Sp,問(wèn)題的域 V 和

32、邊界 S,應(yīng)力邊界條件:,運(yùn)動(dòng)學(xué)邊界條件:,σ ji n j = pi,ui = ui,或,(在 Sp 上),ui = ui,(在 Su 上),偏微分方程的求解,邊值問(wèn)題,? A1 (u) ?,?,?,A(u) = ? A2 (u)? = 0,?,?,?,?,? B1 (u) ?,?,?,B(u) = ?B2 (u)? = 0,?,?,?,?,（在域 V 內(nèi)）,（在邊界 S 上）,域 V 和邊界 S（S=Su+Sp）,界,微分方程的

33、等效積分形式,∫V,VT A(u)dV + ∫ VT B(u)dS = 0,S,偏微分方程的求解,（一）解析法,解析方法是直接應(yīng)用現(xiàn)有的數(shù)學(xué)理,論和定律去推導(dǎo)和演繹數(shù)學(xué)方程（或模,型），得到用函數(shù)形式表示的解，也就,是解析解。,偏微分方程的求解,優(yōu)點(diǎn)：是物理概念及邏輯推理清楚，解的函數(shù),表達(dá)式能夠清楚地表達(dá)溫度場(chǎng)的各種影響因素，,有利于直觀分析各參數(shù)變化對(duì)溫度高低的影響。,缺點(diǎn)：通常需要采用多種簡(jiǎn)化假設(shè)，而這些假,設(shè)往往并不適合實(shí)際情況

34、，這就使解的精確程,度受到不同程度的影響。目前，只有簡(jiǎn)單的一,維溫度場(chǎng)（“半無(wú)限大”平板、圓柱體、球體）,才可能獲得解析解。,偏微分方程的求解,（二）數(shù)值方法,數(shù)值方法又叫數(shù)值分析法，是用計(jì)算機(jī)程序,來(lái)求解數(shù)學(xué)模型的近似解，又稱為數(shù)值模擬,或計(jì)算機(jī)模擬。,偏微分方程的求解,1.差分法,差分法是把原來(lái)求解物體內(nèi)隨空間、時(shí)間連續(xù)分布,的場(chǎng)量，轉(zhuǎn)化為求在時(shí)間領(lǐng)域和空間領(lǐng)域內(nèi)有限個(gè),離散點(diǎn)的變量值問(wèn)題，再用這些離散點(diǎn)上的變量值,去逼近連續(xù)的變量

35、分布。,差分法的解題基礎(chǔ)是用差商來(lái)代替微商，這樣就將,偏微分微分方程轉(zhuǎn)換為以節(jié)點(diǎn)變量為未知量的線性,代數(shù)方程組，得到各節(jié)點(diǎn)的數(shù)值解。,根據(jù)不同的差分格式分為：向前差分、向后差分、,平均差分、中心差分、加列金格式等。,偏微分方程的求解,2.有限元法,有限元法是根據(jù)變分原理來(lái)求解偏微分方程,的一種數(shù)值計(jì)算方法。有限元法的解題步驟是先,將連續(xù)求解域分割為有限個(gè)單元組成的離散化模,型，再用變分原理等數(shù)學(xué)方法將各單元內(nèi)的偏微,分方程轉(zhuǎn)化為等價(jià)的線

36、性方程組，最后求解全域,內(nèi)的總體合成矩陣。,偏微分方程的求解,數(shù)值計(jì)算方法分類,特 點(diǎn),差分法,等效積分法,（加權(quán)余量法或,優(yōu)缺點(diǎn),離散求解域；差分代替微分；解 要求規(guī)則邊界，幾何形,代數(shù)方程組,狀復(fù)雜時(shí)精度低,整體場(chǎng)函數(shù)用近似函數(shù)代替；微 適合簡(jiǎn)單問(wèn)題，復(fù)雜問(wèn),分方程及定解條件的等效積分轉(zhuǎn) 題很難解決,化為某個(gè)泛函的變分，--求極值,問(wèn)題,離散求解域；分片連續(xù)函數(shù)近似 節(jié)點(diǎn)可任意配置，邊界,整體未知場(chǎng)函數(shù)；解線形方程組 適應(yīng)性好；適應(yīng)

37、任意支,撐條件和載荷；計(jì)算精,度與網(wǎng)格疏密和單元形,態(tài)有關(guān)，精度可控,泛函變分法）,有限元法,偏微分方程的求解,數(shù)值模擬方法的優(yōu)越性,經(jīng)濟(jì)、快速、優(yōu)化、并行,結(jié)果詳盡,□ 應(yīng)力 應(yīng)變,溫度,□ 組織性能變化,虛擬、靈活,偏微分方程的求解,有限元分析實(shí)例,A380,飛機(jī)有限元模型,重型燃?xì)廨啓C(jī)轉(zhuǎn)子模型,有限元分析實(shí)例,新加坡國(guó)立大學(xué)工程系入口,有限元分析實(shí)例,有限元分析實(shí)例,有限元分析實(shí)例,有限元分析實(shí)例,0.2 ° - 1.5

38、 ° resolution (16000 surface nodes)23 z-levels ( 220000 3D nodes),3D view of the North Atlantic mesh,有限元分析實(shí)例,有限元方法的基礎(chǔ)知識(shí),數(shù)學(xué)：求解微分方程，特別是橢圓型邊值問(wèn)題的一種離散化方,法，其基礎(chǔ)是變分原理和剖分逼近,力學(xué)：一種將連續(xù)體離散化，以求解各種力學(xué)問(wèn)題的數(shù)值方法,土

39、木工程：把物體或結(jié)構(gòu)整體所具有的域(V)劃分為有限多個(gè)被,稱為單元的子域(Vn)，以求得近似解的一種數(shù)值計(jì)算方法,機(jī)械工程：對(duì)機(jī)械零件或構(gòu)件等作應(yīng)力分析的一種離散數(shù)值方,法,航空、航天工程：將結(jié)構(gòu)用網(wǎng)格劃分為計(jì)算模型的一種結(jié)構(gòu)數(shù),值分析方法,不同學(xué)科和工程類別從各自特有學(xué)術(shù)角度對(duì)有限元給出,相應(yīng)的不同定義，但有一條是共同的，即都認(rèn)為有限元,法是有效的數(shù)值分析方法。,學(xué)習(xí)有限元所需的理論基礎(chǔ),學(xué)科理論：理論力學(xué)、材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)、彈性力

40、學(xué)、,流體力學(xué)、傳熱學(xué)等等。根據(jù)所要解決問(wèn)題的不同，應(yīng)具,備不同的專門知識(shí)。,數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：線性代數(shù)、變分原理、加權(quán)余量法等等,計(jì)算機(jī)基礎(chǔ)：計(jì)算機(jī)的一般知識(shí)，算法語(yǔ)言，計(jì)算機(jī)的使,用和編程。,這些知識(shí)有些我們已經(jīng)掌握，有些則還沒有。但,是不能等全部掌握了所有這些知識(shí)再來(lái)學(xué)習(xí)有限,元法，只有再學(xué)習(xí)過(guò)程中逐漸掌握。好在有限元,法可以在不同的層次上理解和應(yīng)用。,有限元方法的基礎(chǔ)知識(shí),基本特點(diǎn),以簡(jiǎn)單逼近復(fù)雜,概念清楚，容易理解,矩陣數(shù)學(xué) 便于編程

41、和計(jì)算機(jī)求解,適用于形狀復(fù)雜問(wèn)題,適應(yīng)性強(qiáng)，應(yīng)用范圍廣泛,有限元方法的基礎(chǔ)知識(shí),基本特點(diǎn),適應(yīng)性強(qiáng),彈性力學(xué)平面問(wèn)題擴(kuò)展到了空間問(wèn)題、板殼,問(wèn)題；,靜力平衡問(wèn)題擴(kuò)展到了動(dòng)態(tài)問(wèn)題；,固態(tài)力學(xué)擴(kuò)展到了流體力學(xué)、傳熱學(xué)；,彈性材料問(wèn)題擴(kuò)展到了彈塑性、塑性、粘彈,性和復(fù)合材料問(wèn)題；,航空工程問(wèn)題擴(kuò)展到了宇航、土木建筑、機(jī),械制造、水利工程及原子能學(xué)科等方面的問(wèn),題。,有限元方法的基礎(chǔ)知識(shí),特點(diǎn),缺點(diǎn)：,必須首先編制（或具備）計(jì)算機(jī)程序，必須運(yùn),

42、用計(jì)算機(jī)求解。,計(jì)算前的數(shù)據(jù)準(zhǔn)備，計(jì)算結(jié)果的數(shù)據(jù)整理分析,工作量很大,然而，計(jì)算機(jī)日益普及和功能日益強(qiáng)大，可以,通過(guò)計(jì)算機(jī)進(jìn)行有限元分析的前、后處理來(lái)大,大幫助減少工作量。,有限元方法的基礎(chǔ)知識(shí),基本步驟,1，求解區(qū)域離散化,2，選擇插值函數(shù),3，分析單元特性,4，組建整體剛度矩陣,5，求解系統(tǒng)的總體方程組,6，根據(jù)需要進(jìn)行附加計(jì)算,基本思想,化整為零,積零為整,有限元方法的基礎(chǔ)知識(shí),基本思想,先將求解域離散為有限個(gè)單元，單元與單元只在

43、節(jié)點(diǎn),相互連接；----即原始連續(xù)求解域用有限個(gè)單元的集,合近似代替,對(duì)每個(gè)單元選擇一個(gè)簡(jiǎn)單的場(chǎng)函數(shù)近似表示真實(shí)場(chǎng)函,數(shù)在其上的分布規(guī)律，該簡(jiǎn)單函數(shù)可由單元節(jié)點(diǎn)上物,理量來(lái)表示----通常稱為插值函數(shù)或位移函數(shù),基于問(wèn)題的基本方程，建立單元節(jié)點(diǎn)的平衡方程（即,單元?jiǎng)偠确匠蹋?借助于矩陣表示，把所有單元的剛度方程組合成整體,的剛度方程，這是一組以節(jié)點(diǎn)物理量為未知量的線形,方程組，引入邊界條件求解該方程組即可。,有限元方法的基礎(chǔ)知識(shí),基本思

44、想,節(jié)點(diǎn),vm,m(xm ym ),um,v j,u,j,vi,單元,ui,j(x j y j ),y,i( xi yi ),x,有限元方法的基礎(chǔ)知識(shí),?基本概念,結(jié)構(gòu)離散（有限元建模）,內(nèi)容：1）網(wǎng)格劃分,---即把結(jié)構(gòu)按一定規(guī)則分割成有限單元,2）邊界處理,---即把作用于結(jié)構(gòu)邊界上約束和載荷處 為節(jié)點(diǎn),約束和節(jié)點(diǎn)載荷,要求：1）離散結(jié)構(gòu)必須與原始結(jié)構(gòu)保形,----單元的幾何特性,2）一個(gè)單元內(nèi)的物理特性必須相同,----單元的

45、物理 特性,有限元方法的基礎(chǔ)知識(shí),單元：即原始結(jié)構(gòu)離散,后，滿足 定幾何特性,和物理特性的最小結(jié)構(gòu),域,節(jié)點(diǎn)：?jiǎn)卧c單元間的,連接點(diǎn)。,節(jié)點(diǎn)力：?jiǎn)卧c單元間,通過(guò)節(jié)點(diǎn)的相互作用力,節(jié)點(diǎn)載荷：作用于節(jié)點(diǎn),上的外載。,?基本概念,單元與節(jié)點(diǎn),注意：,1)節(jié)點(diǎn)是有限元法的重要概念，,有限元模型中，相鄰單元的作用,通過(guò)節(jié)點(diǎn)傳遞，而單元邊界不傳,遞力，這是離散結(jié)構(gòu)與實(shí)際結(jié)構(gòu),的重大差別；,2）節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)載荷的差別,有限元方法的基礎(chǔ)知識(shí),?基本

46、概念,非法結(jié)構(gòu)離散,節(jié)點(diǎn)不合法,不同材料,有限元方法的基礎(chǔ)知識(shí),單元類型,單元圖形,節(jié)點(diǎn)數(shù),桿單元,梁?jiǎn)卧?典,型,單,元,類,型,平面單元,2,2,3,4,3,4,4,平面四邊形,軸對(duì)稱問(wèn)題,板殼單元,四面體單元,?基本概念,插值函數(shù)（或位移函數(shù)）,用以表示單元內(nèi)物理量變化（如位移或位移場(chǎng)）的近,似函數(shù)。由于該近似函數(shù)常由單元節(jié)點(diǎn)物理量值插值,構(gòu)成，故稱為插值函數(shù)，如單元內(nèi)物理量為位移，則,該函數(shù)稱為位移函數(shù)。,選擇位移函數(shù)的一般原則

47、：,1）位移函數(shù)在單元節(jié)點(diǎn)的值應(yīng)等于節(jié)點(diǎn)位移（即單元內(nèi)部是連,續(xù)的）；,2）所選位移函數(shù)必須保證有限元的解收斂于真實(shí)解。,注：為了便于微積分運(yùn)算，位移函數(shù)一般采用多項(xiàng)式形式，在,單元內(nèi)選取適當(dāng)階次的多項(xiàng)式可得到與真實(shí)解接近的近似解,有限元方法的基礎(chǔ)知識(shí),?基本概念,位移函數(shù)的構(gòu)造方法,廣義坐標(biāo)法,一維單元位移函數(shù)：,u(x) =α0 +α1x +α1x2 + ...αn xn,簡(jiǎn)記為,u(x) = Φα,αi 為待定系數(shù)，也稱為廣 Φ

48、 ={1 x x2 ... xn},義坐標(biāo),T,α = {α0 α1 α2 ... αn},有限元方法的基礎(chǔ)知識(shí),?基本概念,位移函數(shù)的構(gòu)造方法,插值函數(shù)法 即將位移函數(shù)表示為各個(gè)節(jié)點(diǎn)位移與已知插值,基函數(shù)積的和。,如一維單元,u(x) = N1 ( x)u1 + N2 ( x)u2 + ...,= ∑ Ni ( x)ui,n,1,二維單元,注：Ni可為L(zhǎng)agrange、,Hamiton多項(xiàng)式或形函,數(shù)，在+1~-1

49、,間變化,u(x, y) = ∑ Niui,1,n,v(x, y) = ∑ Nivi,1,n,有限元方法的基礎(chǔ)知識(shí),?基本概念,有限元法的收斂準(zhǔn)則,影響有限元解的誤差：1）離散誤差 2）位移函數(shù)誤差,收斂準(zhǔn)則：,1）位移函數(shù)必須包括常量應(yīng)變（即線形項(xiàng)）,2）位移函數(shù)必須包括單元的剛性位移（即常量項(xiàng)）；,3）位移函數(shù)在單元內(nèi)部必須連續(xù)（連續(xù)性條件）；,4）位移函數(shù)應(yīng)使得相鄰單元間的位移協(xié)調(diào)（協(xié)調(diào)性條件）；,注：上述四個(gè)條件稱為有限元解收斂

50、于真實(shí)解的充分條件；前三,個(gè)條件稱為必要條件。滿足四個(gè)條件的位移函數(shù)構(gòu)成的單元稱,為協(xié)調(diào)元；滿足前三個(gè)條件的單元稱為非協(xié)調(diào)元；滿足前兩個(gè),條件的單元稱為完備元。,有限元方法的基礎(chǔ)知識(shí),?基本概念,新型單元的研究,1、面向特性材料（如復(fù)合材料）的單元位移模式研究,2、面向幾何設(shè)計(jì)的新型單元（如超單元）的研究,幾個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題,面向物理問(wèn)題的有限元建模,如有限元建模專家系統(tǒng)、決策支持系統(tǒng)、網(wǎng)格劃分算,法等,有限元法計(jì)算速度的研究,如并行計(jì)算等,

51、結(jié)構(gòu)優(yōu)化,有限元方法的基礎(chǔ)知識(shí),有限元分析 (FEA),有限元分析是利用數(shù)學(xué)近似的方法對(duì)真實(shí)物理系統(tǒng),（幾何和載荷工況）進(jìn)行模擬。還利用簡(jiǎn)單而又相,互作用的元素，即單元，就可以用有限數(shù)量的未知,量去逼近無(wú)限未知量的真實(shí)系統(tǒng)。,歷史典故,? 結(jié)構(gòu)分析的有限元方法是由一批學(xué)術(shù)界和工業(yè)界的研究,者在二十世紀(jì)五十年代到二十世紀(jì)六十年代創(chuàng)立的。,? 有限元分析理論已有100多年的歷史，是懸索橋和蒸汽鍋,爐進(jìn)行手算評(píng)核的基礎(chǔ)。,有限元方法的基礎(chǔ)知識(shí)

52、,物理系統(tǒng)舉例,幾何體,載荷,物理系統(tǒng),結(jié)構(gòu),熱,電磁,有限元模型,有限元模型 是真實(shí)系統(tǒng)理想化的數(shù)學(xué)抽象。,真實(shí)系統(tǒng),有限元模型,自由度（DOF ）,自由度(DOFs) 用于描述一個(gè)物理場(chǎng)的響應(yīng)特性。,UY,ROTY,方向,結(jié)構(gòu),熱,電,流體,磁,自由度,位移,溫度,電位,壓力,磁位,ROTZ,UZ,UX,ROTX,結(jié)構(gòu) DOFs,節(jié)點(diǎn)和單元,載荷,節(jié)點(diǎn): 空間中的坐標(biāo)位置，具有一定自由度和,存在相互物理作用。,單元:,一組節(jié)點(diǎn)自由度

53、間相互作用的數(shù)值、矩陣,描述（稱為剛度或系數(shù)矩陣)。單元有線、,面或?qū)嶓w以及二維或三維的單元等種類。,載荷,有限元模型由 些簡(jiǎn)單形狀的,單元組成，單元之間通過(guò)節(jié)點(diǎn)連,接，并承受一定載荷。,節(jié)點(diǎn)和單元 (續(xù)),每個(gè)單元的特性是通過(guò)一些線性方程式來(lái)描述的。,作為一個(gè)整體，單元形成了整體結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型。,盡管梯子的有限元模型低于100個(gè)方程（即“自由度”,），然而在今天一個(gè)小的 ANSYS分析就可能有5000個(gè),未知量，矩陣可能有25，00

54、0，000個(gè)剛度系數(shù)。,歷史典故,早期 ANSYS是隨計(jì)算機(jī)硬件而發(fā)展壯大的。ANSYS最早是,在1970年發(fā)布的，運(yùn)行在價(jià)格為＄1，000，000的CDC、,由Univac和IBM生產(chǎn)的計(jì)算機(jī)上，它們的處理能力遠(yuǎn)遠(yuǎn)落,后于今天的PC機(jī)。一臺(tái)奔騰PC機(jī)在幾分鐘內(nèi)可求解,5000×5000的矩陣系統(tǒng)，而過(guò)去則需要幾天時(shí)間。,節(jié)點(diǎn)和單元 (續(xù)),信息是通過(guò)單元之間的公共節(jié)點(diǎn)傳遞的。,2 nodes,.,A,.,.,.,.,B,1

55、node,.,.,.,A,.,.,B,具有公共節(jié)點(diǎn)的單元,之間存在信息傳遞,.,.,.,.,分離但節(jié)點(diǎn)重疊的單元,A和B之間沒有信息傳遞,（需進(jìn)行節(jié)點(diǎn)合并處理）,節(jié)點(diǎn)和單元 (續(xù)),節(jié)點(diǎn)自由度是隨連接該節(jié)點(diǎn) 單元類型 變化的,J,三維桿單元 (鉸接),UX, UY, UZ,I,L,K,二維或軸對(duì)稱實(shí)體單元,UX, UY,I,I,P,M,L,I,N,K,J,I,J,O,P,三維實(shí)體結(jié)構(gòu)單元,UX, UY, UZ,M,L,N,K,J,I,L

56、,K,J,三維四邊形殼單元,UX, UY, UZ,,ROTX, ROTY, ROTZ,O,三維實(shí)體熱單元,TEMP,J,三維梁?jiǎn)卧?UX, UY, UZ,,ROTX, ROTY, ROTZ,單元形函數(shù),?FEA僅僅求解節(jié)點(diǎn)處的DOF值。,?單元形函數(shù)是一種數(shù)學(xué)函數(shù)，規(guī)定了從節(jié)點(diǎn)DOF值,到單元內(nèi)所有點(diǎn)處DOF值的計(jì)算方法。,?因此，單元形函數(shù)提供出一種描述單元內(nèi)部結(jié)果,的“形狀”。,?單元形函數(shù)描述的是給定單元的一種假定的特性,。,?單

57、元形函數(shù)與真實(shí)工作特性吻合好壞程度直接影,響求解精度。,單元形函數(shù)(續(xù)),二次曲線的線性近,(不理想結(jié)果),DOF值二次分布,真實(shí)的二次曲線,.,1,節(jié)點(diǎn),單元,線性近似,(更理想的結(jié)果),.,2,真實(shí)的二次曲線,.,節(jié)點(diǎn),單元,.,二次近似 (接近于真實(shí)的二次近似擬合),(最理想結(jié)果),.. . . .,3,節(jié)點(diǎn),單元,.,4,節(jié)點(diǎn),單元,.,單元形函數(shù)(續(xù)),遵循:,? DOF值可以精確或不太精確地等于在節(jié)點(diǎn)處的真實(shí)解，但單,

58、元內(nèi)的平均值與實(shí)際情況吻合得很好。,? 這些平均意義上的典型解是從單元DOFs推導(dǎo)出來(lái)的（如 結(jié),構(gòu)應(yīng)力，熱梯度）。,? 如果單元形函數(shù)不能精確描述單元內(nèi)部的DOFs，就不能很好,地得到導(dǎo)出數(shù)據(jù)，因?yàn)檫@些導(dǎo)出數(shù)據(jù)是通過(guò)單元形函數(shù)推導(dǎo),出來(lái)的。,單元形函數(shù)(續(xù)),遵循原則:,?當(dāng)選擇了某種單元類型時(shí)，也就十分,確定地選擇并接受該種單元類型所假,定的單元形函數(shù)。,?在選定單元類型并隨之確定了形函數(shù),的情況下，必須確保分析時(shí)有足夠數(shù),量的單元

59、和節(jié)點(diǎn)來(lái)精確描述所要求解,的問(wèn)題。,加權(quán)余量法,變分法,法,里茲法,約束變分原理,有限元方法的數(shù)學(xué)原理,變分法,泛函,∏ = ∫ F(u,,V,?u,?u,, )dV + ∫ E(u, , )dS,S,?x,?x,其中 u 是未知函數(shù)，F(xiàn) 和 E 是特定的算子，V 是求解域，S 是 V 的邊界。,泛函 取駐值的條件是，對(duì)于微小變化,∏ δ u ，泛

60、函的“變分”等于零,δ ∏ = 0,有限元方法的數(shù)學(xué)原理,加權(quán)余量法,近似解,~,u = u = ∑Ni ai = Na,i=1,n,其中,ai 是待定參數(shù)；Ni 是形函數(shù)。,令余量的加權(quán)積分為 0,∫V,WT A(Na)dV + ∫ WT B(Na)dS = 0,j,j,S,( j = 1 ~ n),有限元方法的數(shù)學(xué)原理,里茲法,~,u = u = ∑Ni ai =Na,i=1,n,? ∏,? ∏,δ ∏ =,δa1 +,δa2 +,

61、?a1,?a2,? ∏,+,δan = 0,?an,? ? ∏ ?,? ?a ?,? 1 ?,? ∏ ?,? ∏ ?,?,= ? ?a2 ? = 0,?a ?,?,? ? ∏ ?,?,?,?an ?,?,?,?,有限元方法的數(shù)學(xué)原理,關(guān)于里茲法的幾點(diǎn)討論,收斂性,（1）完備性：試探函數(shù) Ni（i=1～n）應(yīng)取自完全函數(shù)系列。,（2）協(xié)調(diào)性： Ni（i=1～n）應(yīng)滿足 Cm-1 連續(xù)性要求。,應(yīng)用中的困難,（1）在

62、求解域比較復(fù)雜時(shí)，難以選取滿足邊界條件的試探函數(shù)。,（2）為了提高近似解的精度 需要增加待定參數(shù)和試探函數(shù)的項(xiàng)數(shù),有限元方法的數(shù)學(xué)原理,加權(quán)余量法示例（虛功原理）,平衡方程和力邊界條件：σ ij, j + ρbi = 0,（在 V 內(nèi)）,（在 Sp 上）,σ ij n j ? pi = 0,等效積分形式：,∫V δui (σ ij, j + ρbi )dV ? ∫S,V,δui (σ ij n j ? pi )dS = 0,p,∫V,

63、得：,或,δuiσ ij, j dV = ?∫,V,1,δui, j + δu j,i σ ij dV + ∫ δuiσ ij n j dS,S p,2,S p,(,),= ?∫ δε ijσ ij dV + ∫ δuiσ ij n j dS,∫V (?δε ijσ ij + δui ρbi )dV + ∫S,∫ σ,V,ij,V,δui pi dS = 0,p,δε ij dV = ∫ ρbiδui dV +∫ piδui dS,S

64、p,有限元方法的數(shù)學(xué)原理,線彈性力學(xué)的最小位能原理,代入：σij = Cijklεkl,e,∫V,e,(δεijCijklεkl ?δui ρbi )dV ? ∫ δui pidS = 0,Sp,令：δεijCijklεkl = δ? Cijklεijεkl ? = δU(εmn) ， ?δφ(ui ) = ρbiδui , ?δψ(ui ) = piδui,e,e,? 1,? 2,?,?,于是：,δ ∏p = 0,其中：∏p = ∏p

65、 (εij ,ui ) = [U(εij ) +φ(ui )]dV +,∫V,∫S ψ(ui )dS,p,? 1 e,?,= ∫ ? Cijklεijεkl ? ρbiui ?dV ? ∫ piuidS,V ? 2,Sp,?,有限元方法的數(shù)學(xué)原理,約束變分原理,考慮附加的約束關(guān)系C(u) = 0,1．拉格朗日乘子法,T,∏* = ∏ +∫ λ C(u)dV,V,2．罰函數(shù)法,∏** = ∏ +α ∫ V CT (u)C(u)dV,有限元

66、方法的數(shù)學(xué)原理,隨著數(shù)值分析方法的逐步完善，尤其是計(jì)算機(jī)運(yùn)算速,度的飛速發(fā)展，整個(gè)計(jì)算系統(tǒng)用于求解運(yùn)算的時(shí)間越,來(lái)越少，而數(shù)據(jù)準(zhǔn)備和運(yùn)算結(jié)果的表現(xiàn)問(wèn)題卻日益突,出,在現(xiàn)在的工程工作站上，求解一個(gè)包含10萬(wàn)個(gè)方程的有,限元模型只需要用幾十分鐘。工程師在分析計(jì)算一個(gè),工程問(wèn)題時(shí)有80%以上的精力都花在數(shù)據(jù)準(zhǔn)備和結(jié)果,分析上。,增強(qiáng)可視化的前置建模和后置數(shù)據(jù)處理功能,各種有限元軟件——發(fā)展現(xiàn)狀,增強(qiáng)可視化的前置建模和后置數(shù)據(jù)處理功能,目前幾乎

67、所有的商業(yè)化有限元程序系統(tǒng)都有功,能很強(qiáng)的前置建模和后置數(shù)據(jù)處理模塊。使用,戶能以可視圖形方式直觀快速地進(jìn)行網(wǎng)格自動(dòng),劃分，生成有限元分析所需數(shù)據(jù)，并按要求將,大量的計(jì)算結(jié)果整理成變形圖、等值分布云圖，,便于極值搜索和所需數(shù)據(jù)的列表輸出。,各種有限元軟件——發(fā)展現(xiàn)狀,與CAD軟件的無(wú)縫集成,當(dāng)今有限元分析系統(tǒng)的另一個(gè)特點(diǎn)是與通用CAD軟件,的集成使用， 即：在用CAD軟件完成部件和零件的造,型設(shè)計(jì)后，自動(dòng)生成有限元網(wǎng)格并進(jìn)行計(jì)算，如果

68、分,析的結(jié)果不符合設(shè)計(jì)要求則重新進(jìn)行造型和計(jì)算，直,到滿意為止，從而極大地提高了設(shè)計(jì)水平和效率。當(dāng),今所有的商業(yè)化有限元系統(tǒng)商都開發(fā)了和著名的CAD,軟 件 （ 例 如 Pro/ENGINEER 、 Unigraphics 、,SolidEdge 、 SolidWorks 、 IDEAS 、 Bentley 和,AutoCAD等）的接口。,各種有限元軟件——發(fā)展現(xiàn)狀,失效分析階段設(shè)計(jì)驗(yàn)證分析階段保證產(chǎn)品正常工作分析階段提