[理學(xué)]有限單元法簡(jiǎn)介

1、有限元法基礎(chǔ)Finite Element Method,桂林電子科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院,2024/4/2,有限單元法簡(jiǎn)介,2,課時(shí)安排,共 36 學(xué)時(shí)有限元法：30 學(xué)時(shí)軟件應(yīng)用： 6 學(xué)時(shí),2024/4/2,有限單元法簡(jiǎn)介,3,考試考核成績(jī)構(gòu)成,Institute of Mechanical Engineering and Automation,聽(tīng)課表現(xiàn)(30分) 有限元軟件考題（70分）,2024/4/2,

2、有限單元法簡(jiǎn)介,4,課程學(xué)習(xí)基本要求,教材及參考書(shū),Institute of Mechanical Engineering and Automation,1、李人憲. 有限單元法基礎(chǔ)(第二版) [M]. 北京: 國(guó)防工業(yè)出版社, 2004 2、傅永華. 有限單元法基礎(chǔ)[M]. 武漢: 武漢大學(xué)出版社, 2003 3、王生洪等. 有限單元法基礎(chǔ)及應(yīng)用 [M]. 北京: 國(guó)防工業(yè)出版社, 1990 4、黃國(guó)權(quán). 有限單元法基礎(chǔ)及ANS

3、YS應(yīng)用 [M]. 北京: 機(jī)械工業(yè)出版社, 2004 5、王勖成、邵敏.有限單元法 [M]. 北京: 清華大學(xué)出版社, 1997.,2024/4/2,有限單元法簡(jiǎn)介,5,學(xué)習(xí)目的及方法,Institute of Mechanical Engineering and Automation,目的 了解FEM數(shù)學(xué)力學(xué)基礎(chǔ)； 把握FEM求解具體問(wèn)題的基本過(guò)程； 應(yīng)用FEM ，特別是運(yùn)用已有的通用或?qū)Ｓ密浖蠼鈱?shí)際工程技術(shù)問(wèn)題；,方

4、法 注重深入理解FEM思想的建立，數(shù)學(xué)力學(xué)基礎(chǔ); 運(yùn)用通用或?qū)Ｓ糜邢拊绦蜻M(jìn)行工程問(wèn)題分析；,一、數(shù)值模擬方法概述二、有限單元法簡(jiǎn)介三、有限單元法分析步驟四、利用有限元軟件進(jìn)行工程分析五、結(jié)后語(yǔ),第 1 章 有限單元法概述,2024/4/2,有限單元法簡(jiǎn)介,7,一、數(shù)值模擬方法概述,工程技術(shù)領(lǐng)域中的許多力學(xué)問(wèn)題和場(chǎng)問(wèn)題，如固體力學(xué)中的位移場(chǎng)、應(yīng)力場(chǎng)分析；電磁學(xué)中的電磁場(chǎng)分析；熱力學(xué)中的溫度場(chǎng)分析；流體力學(xué)中的流場(chǎng)分析

5、等，都可以歸結(jié)為在給定邊界條件下求解其控制方程的問(wèn)題。 雖然人們能夠得到它們的基本方程和邊界條件，但是能夠用解析法求解的只是少數(shù)性質(zhì)比較簡(jiǎn)單和邊界比較規(guī)則的問(wèn)題，實(shí)際結(jié)構(gòu)的形狀和所受到的載荷往往比較復(fù)雜，按解析法求解是非常困難的。,2024/4/2,有限單元法簡(jiǎn)介,8,一、數(shù)值模擬方法概述,解決這類復(fù)雜問(wèn)題主要有兩種方法：1、引入簡(jiǎn)化假設(shè)，使其達(dá)到能用解析法求解的狀態(tài)，然后求其近似解（未必可行，容易導(dǎo)致不正確的解答）

6、2、保留問(wèn)題的復(fù)雜性，利用數(shù)值模擬方法求得問(wèn)題的近似解（較多采用） 數(shù)值模擬技術(shù)（即CAE技術(shù)，Computer-aided Engineering）是人們?cè)诂F(xiàn)代數(shù)學(xué)、力學(xué)理論的基礎(chǔ)上，借助于計(jì)算機(jī)技術(shù)來(lái)獲得滿足工程要求的數(shù)值近似解，是現(xiàn)代工程仿真學(xué)發(fā)展的重要推動(dòng)力之一。,2024/4/2,有限單元法簡(jiǎn)介,9,一、數(shù)值模擬方法概述,目前在工程技術(shù)領(lǐng)域內(nèi)常用的數(shù)值模擬方法有： 1、有限單元法FEM（Finite

7、 Element Method） 2、邊界元法 BEM（Boundary Element Method） 3、有限差分法FDM（Finite Difference Method ） 4、離散單元法DEM（Discrete Element Method） 其中有限單元法是最具實(shí)用性和應(yīng)用最廣泛的。,2024/4/2,有限單元法簡(jiǎn)介,10,一、數(shù)值模擬方法概述,由數(shù)值模擬方法結(jié)合計(jì)算機(jī)技術(shù)形成的應(yīng)用軟件在工程中

8、得到廣泛的應(yīng)用，國(guó)際上著名的有限元通用軟件有： ANSYS, ABAQUS, MCS.PATRAN, MCS.NASTRAN, MCS.MARC, ADINA, FLAC等 它們大多采用FORTRAN語(yǔ)言編寫(xiě)，不僅包含多種條件下的有限元分析程序，而且?guī)в袕?qiáng)大的前處理和后處理程序。 大多數(shù)有限元通用軟件擁有良好的用戶界面、使用方便，功能強(qiáng)大。,2024/4/2,有限單元法簡(jiǎn)介,11,[FEM求解

9、工程問(wèn)題思路],工程問(wèn)題求解的基本過(guò)程,Institute of Mechanical Engineering and Automation,二、有限單元法簡(jiǎn)介,2024/4/2,有限單元法簡(jiǎn)介,12,1. 有限元法 定義 是一種工程物理問(wèn)題的數(shù)值分析方法，根據(jù)近似分割和能量極值原理，把求解區(qū)域離散為有限個(gè)單元的組合，研究每個(gè)單元的特性，組裝各單元，通過(guò)變分原理，把問(wèn)題化成代數(shù)方程組求解。 分析指導(dǎo)思想

10、 化整為零，裁彎取直，以簡(jiǎn)馭繁，變難為易,二、有限單元法簡(jiǎn)介,2024/4/2,有限單元法簡(jiǎn)介,13,2. 發(fā)展簡(jiǎn)史1943年，Courant提出有限元法概念1956年，Turner和Clough第一次用三角形單元離散飛機(jī)機(jī)翼，借助有限元法概念研究機(jī)翼的強(qiáng)度及剛度1960年，Clough正式提出有限元法（FEM）20世紀(jì)60年代，我國(guó)數(shù)學(xué)家馮康把FEM總結(jié)成凡是橢圓形偏微分方程都可用FEM求解20世紀(jì)60年代以后

11、，由于數(shù)學(xué)界的參與，F(xiàn)EM得到蓬勃發(fā)展，并且擴(kuò)大了應(yīng)用,二、有限單元法簡(jiǎn)介,2024/4/2,有限單元法簡(jiǎn)介,14,3. 發(fā)展方向新型單元的研究有限元的數(shù)學(xué)理論向新領(lǐng)域擴(kuò)展應(yīng)用大型通用程序的編制和設(shè)計(jì) ANSYS, NASTRAN, ABAQUS開(kāi)發(fā)微機(jī)用版本設(shè)計(jì)自動(dòng)化及優(yōu)化設(shè)計(jì)（CAD, CAE, CAM）,二、有限單元法簡(jiǎn)介,2024/4/2,有限單元法簡(jiǎn)介,15,4. 有限元法的分類 以方程中未知數(shù)代表的意

12、義分類,有限元位移法：未知數(shù)為位移 有限元力法：未知數(shù)為力 有限元混合法：未知數(shù)為力和位移,以推導(dǎo)方法分類,直接法 變分法 加權(quán)余數(shù)法,二、有限單元法簡(jiǎn)介,2024/4/2,有限單元法簡(jiǎn)介,16,有限單元法的常用術(shù)語(yǔ)：,二、有限單元法簡(jiǎn)介,真實(shí)系統(tǒng),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

13、,,,,,,,有限元模型,有限元模型 是真實(shí)系統(tǒng)理想化的數(shù)學(xué)抽象。,定義,2024/4/2,有限單元法簡(jiǎn)介,17,自由度（DOFs－ degree of freedoms）,自由度(DOFs) 用于描述一個(gè)物理場(chǎng)的響應(yīng)特性。,結(jié)構(gòu) DOFs,,,,,,,,,,,,,,,,,,,ROTZ,UY,ROTY,UX,ROTX,UZ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

14、,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,2024/4/2,有限單元法簡(jiǎn)介,18,節(jié)點(diǎn)和單元,節(jié)點(diǎn): 空間中的坐標(biāo)位置，具有一定自由度和 存在相互物理作用。,單元: 一組節(jié)點(diǎn)自由度間相互作用的數(shù)值、矩陣 描述（稱為剛度或系數(shù)矩陣)。單元有線、 面或?qū)嶓w以及二

15、維單元或三維單元等。,有限元模型由一些簡(jiǎn)單形狀的單元組成，單元之間通過(guò)節(jié)點(diǎn)連接，并承受一定載荷。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,載荷,2024/4/2,有限單元法簡(jiǎn)介,19,,節(jié)點(diǎn)和單元 (續(xù)),節(jié)點(diǎn)自由度隨連接該節(jié)點(diǎn)的 單元類型 變化。,,,,,,,,,,,,J,I,I,J,J,K,L,I,L,K,I,,,,,,,,,,,,,,

16、,,,,,,,,,,,,,,P,O,M,N,K,J,I,L,三維桿單元 (鉸接),UX, UY, UZ,三維梁?jiǎn)卧?二維或軸對(duì)稱實(shí)體單元,UX, UY,三維四邊形殼單元,UX, UY, UZ,,三維實(shí)體熱單元,TEMP,,,,,,,,,J,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,P,O,M,N,K,J,I,L,三維實(shí)體結(jié)構(gòu)單元,ROTX, ROTY, ROTZ,ROTX, ROTY, ROTZ,UX, UY, UZ,,UX,

17、UY, UZ,,,,2024/4/2,有限單元法簡(jiǎn)介,20,單元形函數(shù),FEA（Finite element analysis）僅僅求解節(jié)點(diǎn)處的DOF值。 單元形函數(shù)是一種數(shù)學(xué)函數(shù)，規(guī)定了從節(jié)點(diǎn)DOF值到單元內(nèi)所有點(diǎn)處DOF值的計(jì)算方法。 因此，單元形函數(shù)提供出一種描述單元內(nèi)部結(jié)果的“形狀”。 單元形函數(shù)描述的是給定單元的一種假定的特性。 單元形函數(shù)與真實(shí)工作特性吻合好壞程度直接影響求解精度。,2024/4/2,有限單元法簡(jiǎn)介,

18、21,單元形函數(shù)(續(xù)),,,2024/4/2,有限單元法簡(jiǎn)介,22,單元形函數(shù)(續(xù)),遵循: DOF值可以精確或不夠精確地等于節(jié)點(diǎn)處的真實(shí)解，但單元內(nèi)的平均值與實(shí)際情況吻合得很好。這些平均意義上的典型解是從單元DOFs推導(dǎo)出來(lái)的（如，結(jié)構(gòu)應(yīng)力、熱梯度）。如果單元形函數(shù)不能精確描述單元內(nèi)部的DOFs，就不能很好地得到導(dǎo)出數(shù)據(jù)，因?yàn)檫@些導(dǎo)出數(shù)據(jù)是通過(guò)單元形函數(shù)推導(dǎo)出來(lái)的。,遵循原則: 當(dāng)選擇了某種單元類型時(shí)，也就十分確定地選擇

19、并接受該種單元類型所假定的單元形函數(shù)。在選定單元類型并隨之確定了形函數(shù)的情況下，必須確保分析時(shí)有足夠數(shù)量的單元和節(jié)點(diǎn)來(lái)精確描述所要求解的問(wèn)題。,2024/4/2,有限單元法簡(jiǎn)介,23,二、有限單元法簡(jiǎn)介,有限單元法的基本思想：1、將一個(gè)連續(xù)域離散化為有限個(gè)單元，并通過(guò)有限個(gè)節(jié)點(diǎn)相連接的等效集合體。由于單元能按照不同的聯(lián)結(jié)方式進(jìn)行組合，且單元本身又可以有不同形狀，因此可以模型化幾何形狀復(fù)雜的求解域。2、有限元法利用在每一個(gè)單元內(nèi)假設(shè)

20、的的近似函數(shù)來(lái)分片地表示全求解域上待求的未知場(chǎng)函數(shù)。單元內(nèi)的近似函數(shù)由未知場(chǎng)函數(shù)在單元的各個(gè)節(jié)點(diǎn)的數(shù)值和其插值函數(shù)來(lái)表達(dá)。3、一個(gè)問(wèn)題的有限元分析中，未知場(chǎng)函數(shù)在各個(gè)節(jié)點(diǎn)上的數(shù)值就成為新的未知量，從而使一個(gè)連續(xù)的無(wú)限自由度問(wèn)題變成離散的有限自由度問(wèn)題。4、一經(jīng)求解出這些未知量，就可以通過(guò)插值函數(shù)計(jì)算出各個(gè)單元內(nèi)場(chǎng)函數(shù)的近似值，從而得到整個(gè)求解域上的近似解。顯然，隨著單元數(shù)目的增加，也即單元尺寸的縮小，或者隨著單元自由度的增加以及插值

21、函數(shù)精度的提高，解的近似程度將不斷改進(jìn)，如果單元是滿足收斂要求的，近似解最后將收斂于精確解。,2024/4/2,有限單元法簡(jiǎn)介,24,三、有限單元法分析步驟,有限元法分析問(wèn)題的基本步驟：1、結(jié)構(gòu)的離散化 離散化就是將要分析的結(jié)構(gòu)分割成有限個(gè)單元體，并在單元的指定位置設(shè)置節(jié)點(diǎn)，使相鄰單元的有關(guān)參數(shù)具有一定的連續(xù)性，構(gòu)成單元的集合體代替原來(lái)的結(jié)構(gòu)。 結(jié)構(gòu)離散化時(shí)，劃分的單元大小和數(shù)目應(yīng)根據(jù)計(jì)算精度的要

22、求和計(jì)算機(jī)的容量來(lái)決定 選取坐標(biāo)（右手法則）選擇合適的單元，離散結(jié)構(gòu)物為有限個(gè)單元，并對(duì)單元、節(jié)點(diǎn)進(jìn) 行編號(hào),2024/4/2,有限單元法簡(jiǎn)介,25,三、有限單元法分析步驟,2、選擇位移插值函數(shù) 為了能用節(jié)點(diǎn)位移表示單元體的位移、應(yīng)變和應(yīng)力，在分析連續(xù)體問(wèn)題時(shí)，必須對(duì)單元中位移的分布做出一定的假設(shè)，一般假定位移是坐標(biāo)的某種簡(jiǎn)單函數(shù)。選擇適當(dāng)?shù)奈灰坪瘮?shù)是有限單元法中的關(guān)鍵。,{ f } — 單元內(nèi)任意點(diǎn)的位移

23、列矩陣 [N ] — 單元形函數(shù)矩陣 — 單元節(jié)點(diǎn)位移的列矩陣,2024/4/2,有限單元法簡(jiǎn)介,26,三、有限單元法分析步驟,3、分析單元的力學(xué)特性 利用幾何方程、本構(gòu)方程和變分原理得到單元的剛度矩陣和載荷矩陣 {R}e= [K]e {δ}e {R}e — 單元節(jié)點(diǎn)力 [K]e — 單元?jiǎng)偠染仃?2

24、024/4/2,有限單元法簡(jiǎn)介,27,三、有限單元法分析步驟,4、集合所有單元平衡方程，得到整體結(jié)構(gòu)的平衡方程 先將各個(gè)單元?jiǎng)偠染仃嚰铣烧w剛度矩陣[K]，然后將各單元的等效節(jié)點(diǎn)力列陣集合成總的載荷列陣 [K ] =Σ[K]e 5、由平衡方程求解未知節(jié)點(diǎn)位移{δ} 按照問(wèn)題的邊界條件修改總的平衡方程，并進(jìn)行求解。,2024/4/2,有限單元法簡(jiǎn)介,28,三、有限單元法分析步驟,6、單

25、元應(yīng)變和應(yīng)力的計(jì)算 根據(jù)已知結(jié)點(diǎn)的位移利用彈性力學(xué)方程和位移插值函數(shù)算出單元的應(yīng)變和應(yīng)力。,2024/4/2,有限單元法簡(jiǎn)介,29,四、利用有限元軟件進(jìn)行工程分析,所有的通用有限元軟件都包括：前處理、求解器、后處理三個(gè)有邏輯順序的模塊。在進(jìn)行實(shí)際工程分析時(shí)，也該按照以上三個(gè)模塊來(lái)進(jìn)行。,,,進(jìn)入求解器進(jìn)行求解（設(shè)定分析步驟，輸出變量）,前處理（建模、材料特性、單元選擇及網(wǎng)格劃分）,,進(jìn)入后處理（變形圖、等

26、值線圖，列表顯示等等后處理）,2024/4/2,有限單元法簡(jiǎn)介,30,四、利用有限元軟件進(jìn)行工程分析,利用有限元軟件進(jìn)行工程問(wèn)題的分析，一般應(yīng)按下列步驟進(jìn)行：（一）、制訂分析方案需考慮以下幾個(gè)方面：,2024/4/2,有限單元法簡(jiǎn)介,31,1、分析領(lǐng)域,幾何體 載荷 物理

27、系統(tǒng),,2024/4/2,有限單元法簡(jiǎn)介,32,2、分析目標(biāo),力？,位移？,溫度？,還是其他？,2024/4/2,有限單元法簡(jiǎn)介,33,3、線性 / 非線性分析,“我的物理系統(tǒng)是在線性還是非線性狀態(tài)下工作？線性求解能滿足我的需要嗎？如果不能，必須考慮哪種非線性特性？” 許多情況和物理現(xiàn)象都要求進(jìn)行非線性計(jì)算。,2024/4/2,有限單元法簡(jiǎn)介,34,4、靜力 / 動(dòng)力分析,靜力求解能否滿足你的分析要求？如果不能，應(yīng)當(dāng)進(jìn)行哪種動(dòng)力分析？動(dòng)

28、力分析的所有載荷都是隨時(shí)間變化的，但在許多情況下動(dòng)力影響可以忽略不計(jì)。,一般情況下，激勵(lì)頻率低于結(jié)構(gòu)最小固有頻率的1/3時(shí)靜力求解就足夠了。慣性力是動(dòng)力問(wèn)題不同于靜力問(wèn)題的關(guān)鍵之處。,2024/4/2,有限單元法簡(jiǎn)介,35,5、分析細(xì)節(jié)的考慮,在建立分析模型之前必須制訂好建模方案：必須考慮哪些細(xì)節(jié)問(wèn)題？對(duì)稱/反對(duì)稱/軸對(duì)稱？模型中存在應(yīng)力奇異？選用哪種類型的單元？線單元?dú)卧猉－Y平面單元平面應(yīng)力或應(yīng)變單元軸對(duì)稱單元

29、諧單元實(shí)體單元專用單元線性單元/高階單元/P單元四邊形單元/三角形單元，塊單元/四面體單元,2024/4/2,有限單元法簡(jiǎn)介,36,6、充分利用結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性,,,2024/4/2,有限單元法簡(jiǎn)介,37,7、網(wǎng)格密度,相鄰單元的尺寸盡可能接近,應(yīng)力變化大處單元應(yīng)密集一些。結(jié)點(diǎn)的多少與疏密要考慮計(jì)算 機(jī)的容量和計(jì)算精度,結(jié)點(diǎn)所連接的單元個(gè)數(shù)盡可能一致,2024/4/2,有限單元法簡(jiǎn)介,38,8、單位制,注意：,ANSYS和AB

30、AQUS大型有限元軟件中，沒(méi)有固定的單位制，大家在使用的過(guò)程中，可以自己選用前后一致的一套單位制，則最后所得結(jié)果的單位即為即為所選單位制對(duì)應(yīng)的單位。建議：盡量采用國(guó)際單位制,2024/4/2,有限單元法簡(jiǎn)介,39,9、材料特性,材料特性是有限元分析必須提供的數(shù)據(jù)，其準(zhǔn)確與否直接影響到計(jì)算的精度；必要的時(shí)候需通過(guò)試驗(yàn)提供；一個(gè)復(fù)雜分析中可能包含很多種性質(zhì)截然不同的材料，建模的時(shí)候應(yīng)以足夠的關(guān)鍵字以識(shí)別；很多有限元軟件中，都提供用

31、戶接口，若軟件中沒(méi)有現(xiàn)成的材料模型，用戶可以自行添加,2024/4/2,有限單元法簡(jiǎn)介,40,10、載荷,有限元軟件中的載荷除了傳統(tǒng)意義的載荷（重力、集中力、溫度、電勢(shì)等）外，還包括邊界條件在模型建立之前，應(yīng)該確定所分析模型的工作環(huán)境、作用載荷的種類、大小、方向，作用位置等，這是保證分析正確的前提條件,2024/4/2,有限單元法簡(jiǎn)介,41,11、求解器,最后，根據(jù)分析問(wèn)題的類型及要求，選擇合適的求解器進(jìn)行求解即可。,,OK!可

32、以利用軟件建模了?。?！,2024/4/2,有限單元法簡(jiǎn)介,42,四、利用有限元軟件進(jìn)行工程分析,（二）分析方案制訂完畢，就可以進(jìn)行實(shí)際問(wèn)題的建模分析了1、建立模型,2024/4/2,有限單元法簡(jiǎn)介,43,2024/4/2,有限單元法簡(jiǎn)介,44,2、輸入材料特性3、選擇單元，進(jìn)行網(wǎng)格劃分,2024/4/2,有限單元法簡(jiǎn)介,45,4、施加載荷和邊界條件,2024/4/2,有限單元法簡(jiǎn)介,46,5、定義接觸（根據(jù)分析需要）,難點(diǎn)！,202

33、4/4/2,有限單元法簡(jiǎn)介,47,6、制訂分析類型和輸出要求7、選擇適當(dāng)?shù)那蠼馄鬟M(jìn)行求解8、查看結(jié)果,2024/4/2,有限單元法簡(jiǎn)介,48,2024/4/2,有限單元法簡(jiǎn)介,49,2024/4/2,有限單元法簡(jiǎn)介,50,現(xiàn)代有限元方法經(jīng)過(guò)科學(xué)家和數(shù)學(xué)家的工作已經(jīng)使其不斷成熟完善，從而變成工程分析中一種最有效的數(shù)值方法之一。應(yīng)用此方法在對(duì)于連續(xù)介質(zhì)問(wèn)題分析時(shí)，首先要將求解域離散化，然后的中心工作是單元構(gòu)造或者列式分析。此后的工作可以