八年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽講座第二十三講 代數(shù)證明

1、第二十三講第二十三講代數(shù)證明代數(shù)證明代數(shù)證明主要是指證明代數(shù)中的一些相等關(guān)系或不等關(guān)系在初中階段，要證的等式一般可分為恒等式的證明和條件等式的證明恒等式的證明常用的方法有：(1)由繁到簡(jiǎn)，從一邊推向另一邊；(2)從左右兩邊人手，相向推進(jìn)；(3)作差或作商證明，即證明：左邊一右邊=0，)0(1??右邊右邊左邊條件等式的證明實(shí)質(zhì)是有根據(jù)、有目的的代數(shù)式恒等變換，證明的關(guān)鍵是尋找條件與結(jié)論的聯(lián)系，既要注意已知條件的變換，使之有利于應(yīng)用；又要考

2、慮求證的需求情況，使之有利于與已知條件的溝通代數(shù)證明不同于幾何證明，幾何證明有直觀的圖形為依托，而代數(shù)證明卻取決于代數(shù)式化簡(jiǎn)求值變形技巧、方法和思想的熟練運(yùn)用例題求解例題求解【例1】(1)求證：aazayaxaazzaayyaaxx3111222????????????（2）求證：)1)(1)(1(4)1()1()1(222ababbbaaababbbaa??????????思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥(1)從較復(fù)雜的等式左邊推向等式右邊，注意左邊

3、每個(gè)分式分子與分母的聯(lián)系；(2)等式兩邊都較復(fù)雜，對(duì)左、右兩邊都作變形或作差比較注如果一個(gè)等式的字母在條件允許范圍內(nèi)的任意一個(gè)值，使得等式總能成立，那么這個(gè)等式叫做恒等式把一個(gè)式子變形為與原式恒等的另一種不同形式的式子，這種變形叫做恒等變形，形變值不變是恒等變形的特點(diǎn)代數(shù)式的化簡(jiǎn)求值、代數(shù)證明其實(shí)質(zhì)都是作恒等變形，分解、換元、引參、配方、分組、拆分，取倒數(shù)等是恒等變形常用的技巧與方法【例2】已知，且bayx???2222bayx???求

4、證：2001200120012001bayx???(黃岡市競(jìng)賽題)思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥從完全平方公式入手，推出x、y與a、b間關(guān)系，尋找證題的突破口【例3】有18支足球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)賽，每個(gè)參賽隊(duì)同其他各隊(duì)進(jìn)行一場(chǎng)比賽，假設(shè)比賽的結(jié)果沒(méi)有平局，如果用和，分別表示第i(I=1，2，3…18)支球隊(duì)在整個(gè)賽程中勝與負(fù)的局?jǐn)?shù)iaib求證：21822212182221bbbaaa?????????(天津市競(jìng)賽題)思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥作差比較，明確比賽規(guī)則

5、下隱含的條件是證題的關(guān)鍵【例4】已知，且333czbyax??1111???zyx求證：3333222cbaczbyax?????思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥條件中有一個(gè)連等式，恰當(dāng)引入?yún)?shù)，把待證式兩邊都變形為與參數(shù)相同的同一個(gè)代數(shù)式【例5】已知，證明：四個(gè)數(shù)、、、中至少有一個(gè)0?abcabccba3)(??abcacb3)(??abcbac3)(??abccba3)(??12如果正數(shù)a、b、c滿足，求證：bca2??accbba?????211