1998年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽a題

1、2024/4/4,1998年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽A題,投資的收益和風(fēng)險,2024/4/4,,市場上有n種資產(chǎn)（如股票，債券）,供投資者選擇，某公司有,數(shù)額M的一筆相當(dāng)大的資金投資，經(jīng)評估購買,的平均收益率為,風(fēng)險損失率為,（總風(fēng)險用其最大值度量）。,購,的費率為,購買不足,時費用按購,計算。同期銀行利率為,1）已知n=4時的相關(guān)數(shù)據(jù)如下：,試設(shè)計投資組合方案使凈收益盡可能大風(fēng)險盡可能小。,2024/4/4,建立數(shù)學(xué)模型,關(guān)鍵量：,對,

2、的投資,投資交易費用,投資凈收益,投資組合,投資組合凈收益,投資風(fēng)險,投資資金,建模：,2024/4/4,存銀行數(shù)額,雙目標(biāo)優(yōu)化模型：,2024/4/4,模型的化約,固定風(fēng)險優(yōu)化收益,固定贏利，極小化風(fēng)險,確定相對風(fēng)險--收益偏好系數(shù),2024/4/4,化簡與求解,M很大?,化為線性規(guī)劃模型,固定風(fēng)險：,有偏好的情形：,2024/4/4,組合投資的馬庫維茨模型1952年美國經(jīng)濟(jì)學(xué)家馬庫維茨（H.M.Markowitz）用概率的方法

3、，將收益視作隨機(jī)變量，用它的方差作為風(fēng)險的指標(biāo)，建立了完整的組合投資理論，于1990年獲得諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎。本節(jié)簡要介紹他的優(yōu)化投資組合模型。,2024/4/4,模型的建立設(shè)投資的期限是一年，可供選擇的金融資產(chǎn)數(shù)為n。設(shè)此n中金融資產(chǎn)的年收益為隨機(jī)變量 。由于我們主要關(guān)心投資的分配比例，不妨設(shè)投資總數(shù)為1個單位，用于第j中投資的資金比例為

4、 ， 令，稱為投資組合向量。顯然應(yīng)有。,2024/4/4,投資一年的收益 也是一個隨機(jī)變量，期望收益為馬庫維茨建議用隨機(jī)變量 （組合投資收益）的方差作為投資風(fēng)險的度量，即設(shè)隨機(jī)向量的數(shù)學(xué)期望為 ，自協(xié)方差矩陣為,2024/4/4,那么投資者一般希望收益越大越好，風(fēng)險越小越好。但收益大和風(fēng)險小往往是兩個有

5、矛盾的目標(biāo)，因此馬庫維茨將問題歸結(jié)為：將風(fēng)險控制在一定水平之下，選擇投資組合使期望收益最大；或者在收益不低于某個水平前提下使投資的風(fēng)險最小。這樣就有以下兩個馬庫維茨組合投資優(yōu)化模型。第一個模型是控制風(fēng)險優(yōu)化收益模型,2024/4/4,。,其中r是預(yù)定的風(fēng)險水平,2024/4/4,第二個模型是控制收益，極小化風(fēng)險的模型,2024/4/4,還可將收益和風(fēng)險指標(biāo)進(jìn)行加權(quán)平均，得到如下模型其中， 是一個