第16講 等腰、等邊即直角三角形

1、第 16 講 等腰、等邊及直角三角形 等腰、等邊及直角三角形一、 一、 知識清單梳理 知識清單梳理知識點一：等腰和等邊三角形 知識點一：等腰和等邊三角形 關鍵點撥與對應舉例 關鍵點撥與對應舉例1.等腰三角形（1）性質 ）性質①等邊對等角：兩腰相等，底角相等，即 AB＝AC ∠B＝∠C； ?②三線合一：頂角的平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合; ③對稱性：等腰三角形是軸對稱圖形，直線 AD 是對稱軸.（2）

2、判定 ）判定①定義：有兩邊相等的三角形是等腰三角形；②等角對等邊：即若∠B＝∠C，則△ABC 是等腰三角形. （1）三角形中“垂線、角平分線、中線、等腰”四個條件中，只要滿足其中兩個，其余均成立. 如：如左圖，已知 AD⊥BC,D為 BC 的中點，則三角形的形狀是等腰 等腰三角形.失分點警示： 失分點警示：當?shù)妊切蔚难偷撞幻鞔_時，需分類討論. 如若等腰三角形 ABC 的一個內角為 30°，則另外兩個角的度數(shù)為 30&#

3、176;、 °、120°或 °或 75°、 °、75°.2.等邊三角形（1）性質 ）性質①邊角關系：三邊相等，三角都相等且都等于 60°.即 AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝60°；②對稱性：等邊三角形是軸對稱圖形，三條高線(或角平分線或中線)所在的直線是對稱軸.（2）判定 ）判定①定義：三邊都相等的三角形是等邊三角形； ②三個角都相等（均為 6

4、0°）的三角形是等邊三角形；③任一內角為 60°的等腰三角形是等邊三角形.即若 AB＝AC，且∠B＝60°，則△ABC 是等邊三角形.（1）等邊三角形是特殊的等腰三角形，所以等邊三角形也滿足“三線合一”的性質.（2）等邊三角形有一個特殊的角 60°，所以當?shù)冗吶切纬霈F(xiàn)高時，會結合直角三角形 30°角的性質，即BD=1/2AB.例：△ABC 中，∠B=60°，AB=AC，BC=

5、3，則△ABC 的周長為 9.知識點二 知識點二 ：角平分線和垂直平分線 ：角平分線和垂直平分線3.角平分線（1）性質： ）性質：角平分線上的點到角的兩邊的距離相等．即若∠1 ＝∠2，PA⊥OA，PB⊥OB，則 PA＝PB.（2）判定： ）判定：角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的角平分線上．4.垂直平分線圖形（1）性質： ）性質：線段的垂直平分線上的點到這條線段的兩端點距離相等．即若 OP 垂直且平分 AB，則 PA＝PB.（2）判

6、定： ）判定：到一條線段兩端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上． 例：如圖，△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB 的垂直平分線交 AC 于 D，交 AB 于E，CD=2，則AC=6.知識點三：直角三角形的判定與性質 知識點三：直角三角形的判定與性質5.直角三角形的性質(1)兩銳角互余.即∠A＋∠B＝90°；(2) 30°角所對的直角邊等于斜邊的一半.即若∠B＝30&

7、#176;則 AC＝ AB； 12（1）直角三角形的面積S=1/2ch=1/2ab(其中 a,b 為直角邊，c 為斜邊，h 是斜邊上的2 1 P C OBAPCO B A(3)斜邊上的中線長等于斜邊長的一半．即若 CD 是中線，則 CD＝ AB. 12(4)勾股定理： 勾股定理：兩直角邊 a、b 的平方和等于斜邊 c 的平方．即 a2＋b2＝c2 .6.直角三角形的判定(1) 有一個角是直角的三角形是直角三角形.即若∠C＝90

8、76;，則△ABC 是 Rt△；(2) 如果三角形一條邊的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形．即若 AD＝BD＝CD，則△ABC 是 Rt△(3) 勾股定理的逆定理： 勾股定理的逆定理：若 a2＋b2＝c2，則△ABC 是 Rt△.高)，可以利用這一公式借助面積這個中間量解決與高相關的求長度問題.（2）已知兩邊，利用勾股定理求長度，若斜邊不明確，應分類討論.（3）在折疊問題中，求長度，往往需要結合勾股定理來列方程解決.D