2020高考數(shù)學(xué)專題《100利用同構(gòu)特點解決問題》(講義 +習(xí)題)

1、歡迎加入高中數(shù)學(xué)精品資料群 284110736，每天都有資料更新！聯(lián)系微信 shouyu2018關(guān)注公眾號”品數(shù)學(xué)“，一起學(xué)數(shù)學(xué)吧！微專題 100 利用同構(gòu)特點解決問題一、基礎(chǔ)知識：1、同構(gòu)式：是指除了變量不同，其余地方均相同的表達式2、同構(gòu)式的應(yīng)用：（1）在方程中的應(yīng)用：如果方程 和 呈現(xiàn)同構(gòu)特征，則 可視為方程 ? ? 0 f a ? ? ? 0 f b ? , a b的兩個根 ? ? 0 f x ?（2）在不等式中的應(yīng)用：如果不等

2、式的兩側(cè)呈現(xiàn)同構(gòu)特征，則可將相同的結(jié)構(gòu)構(gòu)造為一個函數(shù)，進而和函數(shù)的單調(diào)性找到聯(lián)系?？杀容^大小或解不等式（3）在解析幾何中的應(yīng)用：如果 滿足的方程為同構(gòu)式，則 為方程 ? ? ? ? 1 1 2 2 , , , A x y B x y , A B所表示曲線上的兩點。特別的，若滿足的方程是直線方程，則該方程即為直線 的方程 AB（4）在數(shù)列中的應(yīng)用：可將遞推公式變形為“依序同構(gòu)”的特征，即關(guān)于 與 ? ? , n a n的同構(gòu)式，從而將同構(gòu)

3、式設(shè)為輔助數(shù)列便于求解 ? ? 1, 1 n a n ? ?二、典型例題：例 1：（2015 天津十二校聯(lián)考）設(shè) ，滿足，則 , x y R ? ? ? ? ?? ? ? ?551 2 sin 1 31 2 sin 1 1x x xy y y? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?（ ） x y ? ?A. B. C. D. 0 2 4 6思路：本題研究對象并非 ，而是 ，進而可變形為 , x y ?

4、? ? ? 1 , 1 x y ? ?，觀察上下式子左邊結(jié)構(gòu)相同，進而可將相同的結(jié)構(gòu) ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?551 2 1 sin 1 11 2 1 sin 1 1x x xy y y? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?視為一個函數(shù)，而等式右邊兩個結(jié)果互為相反數(shù)，可聯(lián)想到函數(shù)的奇偶性，從而利用函數(shù)性質(zhì)求解解： ? ? ? ?? ? ? ?551 2 sin 1 31 2 sin 1

5、1x x xy y y? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?551 2 1 sin 1 11 2 1 sin 1 1x x xy y y? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?設(shè) ，可得 為奇函數(shù)，由題意可得： ? ?5 2 sin f t t t t ? ? ? ? ? f t歡迎加入高中數(shù)學(xué)精品資料群 284110736，每天都有資料更新！

6、聯(lián)系微信 shouyu2018關(guān)注公眾號”品數(shù)學(xué)“，一起學(xué)數(shù)學(xué)吧！其單調(diào)性。 可得 為增函數(shù)。所以 ， ? ?22 , 0, 0x x f x x xx x? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? f x ( ) ( ) a b f a f b > Û >即 ，所以是充要條件 a b a a b b > Û >答案：C例 4：若 ，則（ ） 1 2 0 1 x x ? ? ?A.

7、B. 2 12 1 ln ln x x e e x x ? ? ? 1 22 1 ln ln x x e e x x ? ? ?C. D. 1 22 1x x x e x e ? 1 22 1x x x e x e ?答案：C思路：本題從選項出發(fā)可發(fā)現(xiàn)，每個選項通過不等式變形將 分居在不等式兩側(cè)后都具 1 2 , x x備同構(gòu)的特點， 所以考慮將相同的形式構(gòu)造為函數(shù)，從而只需判斷函數(shù)在 的單調(diào)性即 ? ? 0,1可解： A 選項：

8、，設(shè)2 1 2 12 1 2 1 ln ln ln ln x x x x e e x x e x e x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ln x f x e x ? ?，設(shè) ，則有 恒成立，所以 ? ?' 1 1 xx xe f x e x x? ? ? ? ? ? ? 1 x g x xe ? ? ? ? ? ?' 1 0 x g x x e ? ? ?在 單調(diào)遞增，所以 ，從而存在 ，使得 ? ? g x ?

9、? 0,1 ? ? ? ? 0 1 0, 1 1 0 g g e ? ? ? ? ? ? ? ? 0 0,1 x ?，由單調(diào)性可判斷出： ? ? 0 0 g x ?，所以 在 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?' ' ' '0 0 0, , 0 0, ,1 , 0 0 x x g x f x x x g x f x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? f x不單調(diào)，不等式不會恒成立 ? ?

10、 0,1B 選項： ，設(shè) 可知 1 2 1 22 1 1 2 ln ln ln ln x x x x e e x x e x e x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ln x f x e x ? ? ? ? f x單調(diào)遞增。所以應(yīng)該 ，B 錯誤 ? ? ? ? 1 2 f x f x ?C 選項： ，構(gòu)造函數(shù) ， ，則1 21 22 11 2x xx x e e x e x e x x ? ? ? ? ?x e f x x ? ?