千題百煉高考數(shù)學(xué)100個(gè)熱點(diǎn)問題(一)第22煉恒成立問題參變分離法含解析

1、- 1 -第 22 煉 恒成立問題——參變分離法一、基礎(chǔ)知識(shí)：1、參變分離：顧名思義，就是在不等式中含有兩個(gè)字母時(shí)（一個(gè)視為變量，另一個(gè)視為參數(shù)） ，可利用不等式的等價(jià)變形讓兩個(gè)字母分居不等號(hào)的兩側(cè)，即不等號(hào)的每一側(cè)都是只含有一個(gè)字母的表達(dá)式。然后可利用其中一個(gè)變量的范圍求出另一變量的范圍2、如何確定變量與參數(shù)：一般情況下，那個(gè)字母的范圍已知，就將其視為變量，構(gòu)造關(guān)于它的函數(shù)，另一個(gè)字母（一般為所求）視為參數(shù)。3、參變分離法的適用范圍：

2、判斷恒成立問題是否可以采用參變分離法，可遵循以下兩點(diǎn)原則：（1）已知不等式中兩個(gè)字母是否便于進(jìn)行分離，如果僅通過幾步簡(jiǎn)單變換即可達(dá)到分離目的，則參變分離法可行。但有些不等式中由于兩個(gè)字母的關(guān)系過于“緊密” ，會(huì)出現(xiàn)無法分離的情形，此時(shí)要考慮其他方法。例如： ， 等 ? ?2 1 loga x x ? ? 1 1 1ax x e x? ? ? ?（2）要看參變分離后，已知變量的函數(shù)解析式是否便于求出最值（或臨界值） ，若解析式過于復(fù)雜而無

3、法求出最值（或臨界值） ，則也無法用參變分離法解決問題。 （可參見”恒成立問題——最值分析法“中的相關(guān)題目）4、參變分離后會(huì)出現(xiàn)的情況及處理方法：（假設(shè) 為自變量，其范圍設(shè)為 ， 為函 x D ? ? f x數(shù)； 為參數(shù)， 為其表達(dá)式） a ? ? g a（1）若 的值域?yàn)? ? f x ? ? , m M① ，則只需要 ? ? ? ? , x D g a f x ? ? ? ? ? ? ?min g a f x m ? ?，則只需要

4、? ? ? ? , x D g x f x ? ? ? ? ? ? ?min g a f x m ? ?② ，則只需要 ? ? ? ? , x D g a f x ? ? ? ? ? ? ?max = g a f x M ?，則只需要 ? ? ? ? , x D g a f x ? ? ? ? ? ? ?max = g a f x M ?③ ，則只需要 ? ? ? ? , x D g a f x ? ? ? ? ? ? ?max g a

5、 f x M ? ?，則只需要 ? ? ? ? , x D g a f x ? ? ? ? ? ? ?max g a f x M ? ?④ ，則只需要 ? ? ? ? , x D g a f x ? ? ? ? ? ? ?min g a f x m ? ?- 3 -_________思路：恒成立的不等式為 ，便于參數(shù)分離，所以考慮嘗試參變分離法 2 ln a x x x ? ?解： ，其中 2 3 3 ln ln ln a x x x

6、x a x a x x x x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1, x ? ??只需要 ，令 ? ? ?3max ln a x x x ? ? ? ?3 ln g x x x x ? ?（導(dǎo)函數(shù)無法直接確定單調(diào)區(qū)間，但再求一次導(dǎo)即可將 變?yōu)?，所以二階導(dǎo) ' 2 ( ) 1 ln 3 g x x x ? ? ? ln x 1x函數(shù)的單調(diào)性可分析，為了便于確定 的符號(hào)，不妨先驗(yàn)邊界值） ? ?' g x， ， （

7、判斷單調(diào)性時(shí)一定要先看定義域，有可能會(huì)簡(jiǎn) ? ?' 1 2 g ? ? ? ?2'' 1 1 6 6 0 x g x x x x? ? ? ? ?化判斷的過程）在 單調(diào)遞減， 在 單調(diào)遞減 ? ?' g x ? ? ? 1,?? ? ? ? ?' ' 1 0 ( ) g x g g x ? ? ? ? ? ? 1,??? ? ? ? 1 1 g x g ? ? ? ? 1 a ? ? ?答

8、案： 1 a ? ?小煉有話說：求導(dǎo)數(shù)的目的是利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)得到原函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)無法直接判斷符號(hào)時(shí)，可根據(jù)導(dǎo)函數(shù)解析式的特點(diǎn)以及定義域嘗試在求一次導(dǎo)數(shù)，進(jìn)而通過單調(diào)性和關(guān)鍵點(diǎn)（邊界點(diǎn)，零點(diǎn)）等確定符號(hào)。例 3：若對(duì)任意 ，不等式 恒成立，則實(shí)數(shù) 的范圍 x R ? 2 3 3 2 4 x ax x ? ? ? a是 ．思路：在本題中關(guān)于 的項(xiàng)僅有 一項(xiàng)，便于進(jìn)行參變分離，但由于 ,則分離參數(shù) , a x 2

9、ax x R ?時(shí)要對(duì) 的符號(hào)進(jìn)行討論，并且利用 的符號(hào)的討論也可把絕對(duì)值去掉，進(jìn)而得到 的范 x x a圍， ，當(dāng) 時(shí)， ，而 2 2 3 3 3 2 2 3 4 4 x ax x ax x x ? ? ? ? ? ? ? 0 x ?min3 2 3 1 4 a x x? ? ? ? ? ? ? ? ?；當(dāng) 時(shí)，不等式恒 3 3 3 3 1 3 1 2 3 1 2 4 4 4 x x x x x x ? ? ? ? ? ? ? ? ?